Biografías



Abel

El matemático Niels Henrik Abel (1802-1829) era noruego. Estaba orgulloso de ello (firmaba todos sus escritos como N. H. Abel, noruego), pero también era para él una carga. A principios del siglo XIX Cristianía (actualmente Oslo) estaba muy apartada de los ambientes matemáticos y científicos europeos que se concentraban en París y Berlín. Hijo de un pastor protestante, destacó desde niño en las matemáticas. Siendo aún muy joven empezó a estudiar la solución de la ecuación de quinto grado. Pronto cambió de orientación y trató de demostrar, precisamente, la imposibilidad de resolver esas ecuaciones con métodos algebraicos. Lo logró cuando contaba 24 años. Tuvo que luchar contra la penuria económica (él mismo tenía que pagar la edición de sus obras) y contra la incomprensión de otros grandes matemáticos. A pesar de todo se fue abriendo camino hasta lograr que la prestigiosa universidad de Berlín le ofreciera un puesto de profesor. Por desgracia, la oferta llegó demasiado tarde. Abel había muerto dos días antes, el 6 de abril de 1829, en Noruega, víctima de la tuberculosis. Tenía sólo veintiseis años.









Arquímedes de Siracusa (287-212 aC)

Arquímedes puede ser considerado como el más grande de los matemáticos de la antigüedad. Pasó casi toda su vida en su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe que visitó Egipto al menos en una ocasión. La fama de Arquímedes se basa, fundamentalmente, en sus numerosos descubrimientos matemáticos. Halló, por ejemplo, un valor aproximado de Pi con un error muy pequeño. Calculó volúmenes y áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el volumen de la esfera. Demostró el siguiente resultado fundamental del que se sentía particularmente orgulloso: «Los volúmenes de un cono, de una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la razón 1:2:3». Considerado este teorema con la perspectiva que nos da la Historia, era verdaderamente un resultado excepcional para la época. La pureza de su matemática en las obras De la esfera y del cilindro, De los conoídes y esferoides, De las espirales y la originalidad de sus nuevas ideas (método de exhausción, cuadratura del segmento de parábola), en las que se puede ver el germen del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y se complementan armoniosamente con sus trabajos sobre estática e hidrodinámica, poniendo de manifiesto cómo las dos matemáticas (la pura y la aplicada) se complementan mutuamente, de manera que cada una actúa como estímulo y ayuda para la otra, y forman en conjunto una única y bien definida línea de pensamiento.

Arquímedes fue además un genio de la mecánica. Entre sus inventos más célebres se encuentra el tornillo de Arquímedes, utilizado en muchos países, entre ellos, España, para extraer agua de los pozos. Construyó también planetarios que, pese a la lejanía en el tiempo, eran tan populares como lo son en la actualidad.

Sin embargo, no fueron sólo los inventos «pacíficos» los que dieron a Arquímedes su gran fama en la antigüedad, sino también su contribución a la defensa de Siracusa contra los romanos. Este septuagenario matemático había dotado al ejercito de dicha ciudad de armas muy modernas, las cuales causaron el desconcierto total entre los soldados romanos. Los historiadores de la época no describen los espejos ustorios, pero sí lo hacen los posteriores. Fueron mencionados por primera vez por Galeno (129-199). Si realmente existieron, debió tratarse de alguna especie de espejo parabólico. Según cuenta la leyenda, durante el asedio de la tropas romanas a Siracusa (213-212 aC) fueron capaces de concentrar los rayos de sol en una zona muy reducida y de esta forma, dirigidos hacia la armada romana, provocaron el incendio de las naves. Arquímedes los situó de forma que los rayos del sol llegaran paralelos al eje y que, una vez concentrados, apuntaran a las velas de los barcos enemigos. Muy pronto los romanos vieron, atónitos, cómo las velas de sus barcos ardían como por arte de magia. El ejercito de Siracusa fue así capaz de destruir la armada de los invasores.

Se sabe que es matemáticamente posible la construcción de tales artefactos (v. Parábola). Experimentalmente, se ha demostrado que la leyenda es creíble, como probó en 1747 un naturalista francés, el conde de Buffon. Sin embargo, Siracusa cayó en manos romanas a causa de una traición y Arquímedes fue asesinado. Marcelo, a modo de desagravio, mandó erigir para Arquímedes una tumba sobre la cual se veía una esfera circunscrita por un cilindro que simbolizaba, de acuerdo con sus deseos, su teorema favorito sobre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó Sicilia pudo ver todavía el monumento que se ha perdido para la historia.

Aunque no de una manera explícita, Arquímedes sí ha contribuido a la aplicación de las matemáticas. En efecto, en el Equilíbrio, trataba el problema de la palanca, que, junto a la cuña, el plano inclinado, el rodillo y la polea, componía la colección de las sencillas máquinas utilizadas en la antigüedad para construcciones tan asombrosas como las pirámides de Egipto, los templos griegos y los acueductos romanos. Se sirvió libremente de la noción de baricentro o centro de gravedad de un cuerpo como si la conociese y le fuese familiar. Casi veinte siglos más tarde, S. Stevin y Galileo Galilei construyen la teoría de la estática; esto es, una teoría del equilibrio para complicados sistemas mecánicos



Bernouilli

Jakob Bernouilli (1654-1705), miembro de una de las más destacadas familias científicas originaria de los Países Bajos. Escribió un importante tratado sobre cálculo de probabilidades titulado Ars conjectandi, que se publicó ocho años después de su muerte. A Jakob Bernouilli se le debe el estudio de la distribución binomial.

Propuso en 1696 como desafío «a todos los matemáticos del mundo» el problema de la braquistocrona (curva de caída de un cuerpo en un tiempo mínimo entre dos puntos no situados en una misma vertical), con la promesa de «honor, alabanza y aplauso» para quien lograra resolverlo. Quien lo consiguió años más tarde fue el propio J. Bernouilli.



Boole

Aunque Aristóteles se limitó casi exclusivamente al estudio del silogismo, a él es preciso atribuir todo el mérito de la fundación de la lógica formal. En nuestros días, el silogismo no es más que un capítulo trivial de la lógica. Cuesta trabajo creer que durante 2.000 años fuese tema principal de los estudios lógicos, y que en fecha tan tardía como 1797, nada menos que Immanuel Kant pudiese escribir que la lógica era «un cuerpo de doctrina cerrado y completo». «En la inferencia silogística», escribió en cierta ocasión Bertrand Russell «se supone que uno sabe ya que todos los hombres son mortales y que Sócrates es un hombre; y de ahí uno deduce lo que jamás había sospechado, a saber, que Sócrates es mortal. Esta forma de inferencia se da realmente, aunque muy raras veces». Russell continúa explicando que el único ejemplo del que tuvo noticia le llegó a través de un número satírico de Mind, una revista inglesa dedicada a temas filosóficos en un número especial preparado por la redacción para celebrar las navidades de 1901. Allí, un filósofo alemán mirando perplejo los anuncios de la revista, terminó por razonar así: «En esta revista todo es broma; los anuncios se encuentran en la revista. Por consiguiente, los anuncios son pura broma.» En otro lugar, Russell escribió también: «Si tiene usted la intención de dedicarse a la lógica, he aquí un buen consejo en el que nunca insistiré bastante: no estudie la lógica tradicional. En los tiempos de Aristóteles fue sin duda un esfuerzo meritorio. Pero lo mismo podemos decir de la astronomía ptolemaica.» El cambio crucial se produjo en 1847. En esa fecha, George Boole (1815-1864), hombre modesto y autodidacta, hijo de un humilde zapatero inglés, publicó The Mathematical Analysis of Logic. Este y otros trabajos fueron motivo de su nombramiento como profesor de matemáticas (pese a carecer de títulos universitarios) del Queens College (hoy University College) de Cork, en Irlanda. Allí escribió su tratado An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (Londres, 1854). La idea fundamental—sustituir por símbolos todas las palabras utilizadas en lógica formal— ya se les había ocurrido antes a otros, pero Boole fue el primero en conseguir un sistema operativo. Con raras excepciones, ni filósofos ni matemáticos prestaron mucho interés a logro tan notable. Quizá fuera ésta una de las razones de la tolerancia que Boole mostraba por los matemáticos más excéntricos. Boole escribió un artículo sobre un chiflado de Cork, de nombre John Walsh (Philosophical Magazine, noviembre de 1851), que Augustus de Morgan, en su Budget oí Paradoxes, califica de «la mejor biografía que conozco sobre héroes de este género». Boole murió de una neumonía, cuando contaba 49 años. Su enfermedad fue atribuida a un enfriamiento, por dar una lección magistral con la ropa mojada a consecuencia de un chaparrón.



Cauchy

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francés. Su padre, aconsejado por Lagrange, le envió a estudiar humanidades. Cauchy obedeció, sacó varios premios y, decidido a estudiar matemátias, entró en la Escuela Politécnica de París al aprobar en 1805 los exámenes de 293 candidatos con el nº 2, y terminó en 1807 con el nº 3. Sus convicciones políticas le trajeron muchos problemas, hasta que en 1848 la revolución francesa le permitió ocupar un cargo en la Sorbona. Matemático meticuloso, construyó una obra inmensa, publicando con regularidad en 45 años de vida científica sobre aritmética, física matemática, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc. La edición de sus obras completas se ha demorado casi un siglo; consta de 27 volúmenes y contiene 800 artículos, memorias y 5 obras dedicadas a la enseñanza.



Descartes

René Descartes (1596-1650), considerado padre de la filosofía moderna, trabajó además en fisiología, psicología, óptica y astronomía. Creó la geometría analítica (1619). En el colegio tenía gran habilidad para las discusiones: primero acordaba con sus oponentes las definiciones y el significado de los objetos de discusión, y después construía una argumentación con ellos difícil de rebatir.. Consiguió permiso para levantarse tarde, y así dedicarse a pensar en solitario. Fue gran amigo de Mersenne (v.). En 1632 resolvió el problema de la caida de los cuerpos sin saber que Galileo ya lo había hecho.








Einstein

Él mismo escribió: «Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de que la Naturaleza es concreción de las ideas matemáticas más sencillas.» Cuando tuvo que elegir las ecuaciones tensoriales capaces de dar cuenta de su teoría de la gravitación, entre todos los sistemas capaces de cumplir los requisitos necesarios optó por el más sencillo, y a continuación los publicó, con plena confianza (como en cierta ocasión le dijo al matemático John G. Kemeny) de que «Dios no hubiera dejado escapar una oportunidad así de hacer tan sencilla la Naturaleza». Se ha opinado que los enormes logros de Einstein han sido expresión intelectual de una compulsión psicológica de sencillez, que Henry David Thoreau expuso en Walden como sigue: «¡Sencillez, sencillez, sencillez! Hágame caso, que sus asuntos sean como dos o tres, no como cientos o millares. No haga por contar un millón, sino media docena, y lleve su contabilidad en una uña.» En su biografía de Einstein, Peter Michelmore refiere que «el dormitorio de Einstein parecía la celda de un monje. No había en él cuadros ni alfombras... Se afeitaba sin muchos miramientos, con jabón de fregar. En casa solía ir descalzo. Tan sólo cada dos o tres meses dejaba que Elsa (su esposa) le descargara un poco la pelambrera... Pocas veces encontraba necesaria la ropa interior. También dejó de lado los pijamas. y más tarde los calcetines. "¿Para qué sirven?", solía preguntar. "No producen más que agujeros." Elsa llegó a perder la paciencia un día en que lo pilló cortando de codo abajo las mangas de una camisa nueva. Su explicación fue que los puños requieren botones o gemelos y es necesario lavarlos con frecuencia, total, una pérdida de tiempo». «Toda posesión», decía Einstein, «es una piedra atada al tobillo.» Las ecuaciones de Newton tuvieron que ser, a su vez, modificadas por Einstein; y en nuestros días hay físicos—Robert Dicke entre ellos—que consideran insuficientes las ecuaciones de gravitación einstenianas y creen que habrán de ser modificadas y transformadas en otras más complejas.



Eratóstenes de Cirene

(275-194 a.C.) Sabio griego nacido en la actual Libia, quien en el siglo III a.C. calculó por primera vez, que se sepa, el radio de la Tierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que el Sol se encuentra tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes el día del solsticio de verano (21 de junio), a las doce de la mañana, midió, en Alejandría, con ayuda de una varilla colocada sobre el suelo, el ángulo de inclinación del Sol, que resultó ser 7,2°; es decir, 360º/50. Al mismo tiempo sabía que en la ciudad de Siena (actual Assuán, en que se construyó recientemente la gran presa de Assuán sobre el curso del río Nilo), los rayos del sol llegaban perpendicularmente al observar que se podía ver el fondo de un pozo profundo. La distancia de Alejandría a Siena situada sobre el mismo meridiano era de 5000 estadios (1 estadio = 160 m). Entonces Eratóstenes pensó que dicha distancia sería igual a 1/50 de toda la circunferencia de la Tierra; por tanto, la circunferencia completa medía:

50 × 5.000 = 250.000 estadios = 250.000 × 160 m = 40.000 km

De donde el radio de la Tierra medía: R = 40.000 / 2Pi = 6.366,19 km.

Las actuales mediciones sobre el radio de la Tierra dan el valor de 6.378 km. Como se puede observar se trata de una extraordinaria exactitud, si se tienen en cuenta los escasos medios de que se disponía.

Hoy día, gracias a las mediciones efectudas por los satélites conocemos la Tierra palmo a palmo y podemos saber con precisión casi milimétrica cuál es su tamaño. Pero hace veintitrés siglos no era tan fácil.

Medir el radio de la Tierra no fue el único mérito de Eratóstenes. Como otros sabios de su época, no se conformó con una rama del saber: Fue astrónomo, geógrafo, historiador, literato... y matemático: a él se debe la "criba de Eratóstenes", un sistema para determinar números primos.

Todos esos conocimientos y su gran reputación hicieron que el Rey de Egipto le eligiera para dirigir la Biblioteca de Alejandría, en la que se guardaba todo el saber de su época.

A los ochenta años, ciego y cansado, se dejó morir por inanición.



Euclides

Son muy escasas las noticias históricas que se tienen sobre la vida de Euclides. Proclo dice que vivió en el período 306-285 aC, en tiempos de Ptolomeo I, quién le invitó al museo de Alejandría. Con bastante seguridad, parece que se puede afirmar que Euclides estudió en Atenas, donde conoció los últimos resplandores de su foco científico, pasando luego a Alejandría bajo la protección de los lágidas. Su obra más notable, a la cual debe su inmortalidad, es la titulada Elementos, que equivale a lo que hoy sería un tratado y que ha llegado íntegra hasta nuestros días. Los Elementos rivalizan, por su difusión, con los libros más famosos de la literatura universal: la Biblia, La divina comedia, el Fausto y el Quijote, privilegio tanto más excepcional en cuanto que se trata de una producción científica, no asequible, por tanto, a las grandes masas de lectores. Después de la Biblia y las obras de Lenin, los Elementos ha sido el libro que ha tenido más ediciones y se ha traducido a más lenguas. El rey egipcio Ptolomeo I (306-283 a.C.) empezó a leerlo, pero se cansó enseguida porque le costaba mucho trabajo seguir los largos y minuciosos razonamientos. Mandó llamar a Euclides y le preguntó si existía alguna vía más corta y menos trabajosa. Euclides respondió que no, que «en matemáticas no hay caminos reales». Los Elementos fueron traducidos al latín por Adelardo de Bath y Gerardo de Cremona.

La actitud actual en las matemáticas se parece al espíritu clásico de Euclides en el sentido de que creemos que basta con la inteligencia para toda creación científica cuyo desarrollo se verifica según un proceso puramente racional. Si cambiamos o suprimimos coherentemente algunos postulados podremos seguir obteniendo geometrías coherentes. Éste no es un problema fácil, ya que es complicado decidir sobre la necesidad o no de un postulado o sobre su dependencia de otro u otros. A lo largo de la historia se ha visto como muchos matemáticos han intentado, en vano, probar que el famoso quinto postulado de Euclides era una consecuencia de los restantes. No fue hasta mediados del siglo pasado cuando se vio la independencia de todos los postulados y la posibilidad de la construcción de nuevas geometrías. Habían nacido así las geometrías no euclídeas (elíptica e hiperbólica) con la misma consistencia que la euclídea, pero independientes de ésta.

Los Elementos constan de trece libros, a los que casi todos los editores agregan otros dos, cuya autenticidad es dudosa. De lo que no cabe duda alguna es de que la historia de los Elementos es la historia de la geometría, desde su redacción hasta el Renacimiento.

Pero Euclides no sólo se dedicó a la geometría. Se habían definido los números primos y Euclides demostró que había infinitos, aunque debido a la inexistencia de un sistema de numeración adecuado le habría resultado dificil dar ejemplos de números primos relativamente grandes, por ejemplo, superiores a un millón. Notemos que para los griegos los números superiores a diez mil eran ya prácticamente inmanejables, debido a los métodos de cálculo rudimentarios y enojosos que utilizaban.



Euler

Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, simbolizó en 1777 la raíz cuadrada de -1 con la letra i (inicial de imaginario). Ese mismo año nacía Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que dio una interpretación geométrica a los números complejos ¿Casualidad?. (v. Recta de Euler). Demostró el teorema de Fermat (v.) para n=3, pero cometió un grave error.



Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665), francés, fundador de la teoría de los números. No era matemático sino jurista, y sus trabajos matemáticos no se publicaron hasta después de su muerte. Escribió numerosas notas al margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto. Una de ellas ha llegado a ser uno de los más famosos enunciados en la historia de las matemáticas, el Último teorema de Fermat. Al lado de un problema sobre ternas pitagóricos, escribió en latín: "Por otra parte, es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos, una cuarta potencia, suma de dos cuartas potencias, o en general, que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener." Un jurista provinciano del s. XVII ha burlado con su teorema a los más capaces matemáticos de tres siglos. Se sospecha que estaba equivocado y carecía de tal demostración. Cien años más tarde Euler(v.) publicó una demostración ¡errónea! Para n=3. En 1825, Dirichlet y Legendre lo hicieron para n=5, y en 1840 Gabriel Lamé lo hizo, no sin gran dificultad, para n=7. En 1847 Kummer logró establecerlo para todo n primo mayor que 100 salvo, quizá, para 37, 59 y 67. Mediante ordenador se demostró en 1970 para n hasta 30.000 y poco después hasta 125.000. En 1854 la Academia de Ciencias de París había hecho la promesa de otorgar una medalla y 300.000 francos de oro a quien lograra demostrar el teorema. Kummer recibió la medalla en 1858. La historia tiene su final con Willes (v.), quien ha logrado, no sin tropiezos, dejarlo definitivamente establecido.



Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matemático alemán, fue un niño prodigio, y continuó siendo prodigio toda su vida hasta el extremo que se le ha llamado el Príncipe de los Matemáticos, si bien su linaje no fue nada aristocrático, pues nació en una miserable cabaña y sus padres eran pobres. Sus contribuciones a la matemática, la física matemática y otras ramas aplicadas de la ciencia, como la Astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. Nunca publicó un trabajo hasta asegurarse de que estaba perfectamente elaborado, por lo cual no hay forma de saber cómo obtenía sus resultados (llegó a decir "cuando se finaliza un noble edificio no deben quedar visibles los andamios", pero, continuando con su metáfora, Gauss no solamente retiró los andamios sino que destruyó los planos. Jacobi dijo: "sus demostraciones son rígidas, heladas... lo primero que hay que hacer es descongelarlas". Abel (v.) observó "Es como el zorro, que borra con la cola sus huellas de la arena").

Fue muy precoz. Antes de cumplir tres años corrigió a su padre en la cuenta de la paga a los obreros, sin que nadie le hubiera enseñado aritmética. A los 10 años el maestro propuso en clase el problema de sumar 1+2+...+100. Apenas había terminado de enunciarlo, cuando Gauss puso su pizarra en la mesa del profesor. Al cabo de una hora sus compañeros terminaron el tedioso cálculo. Sus pizarras estaban repletas de sumas, mientras que en la de Gauss sólo había un número. Era la única respuesta correcta. A Gauss le encantaba, en su vejez, contar esta anécdota. El maestro le compró con su propio dinero un libro de aritmética y se lo regaló. El libro contenía una demostración del teorema del binomio poco rigurosa; a Gauss no le gusto, y construyó otra mejor. A los 19 años había demostrado importantes teoremas de teoría de números, que con anterioridad Euler (v.) y Legendre habían intentado demostrar sin éxito. Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para los polígonos regulares de 3, 4, 5, y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección, pero ninguno más. En 2.000 años nadie había avanzado nada en este problema. En marzo de 1796, con 18 años, encontró una construcción para el polígono de 17 lados y caracterizó exactamente los polígonos que pueden construirse con regla y compás: su número de lados ha de estar compuesto de potencias de 2 y de primos de Fermat (v.) con n primo. Esto fue lo que lo decidió a hacer la carrera de matemáticas.

Según cuenta él mismo, a los 20 años estaba tan sobrecargado de ideas matemáticas que no tenía tiempo para escribirlas. En julio de 1796 demostró que todo entero positivo es suma de tres números triangulares y lo anotó en su diario como "¡Eureka! Num =++". El primero en demostrar que un polinomio tiene como máximo tantas raíces distintas como indica su grado fue Gauss. Lo curioso es que esa demostración la hizo con sólo veintiún años, en su tesis doctoral. En 1801, con 24 años, publicó sus Disquisitiones Arithmeticae, donde, entre otras, inventó la aritmética modular porque la necesitaba para profundos teoremas. Fue el primero en usar ampliamente los números complejos (v.) y en expresarlos en su forma binómica junto con sus leyes. En su tesis doctoral (1799), demostró el Teorema Fundamental del Álgebra (v.) por ser uno de los más importantes pilares sobre el que se sustenta todo el álgebra. Fue el primero en emplear geometrías no euclídeas (v.) y en darles tal denominación. Descubrió el teorema de Cauchy, fundamento del análisis de variable compleja. Descubrió la distribución normal (de Gauss), el método de mínimos cuadrados. Su enorme fama aumentó aún más depués de su muerte, al descubrirse, inéditos, una gran cantidad de importantes resultados que él no había querido publicar.



Kepler

Kepler, en 1610, descubrió que los planetas giran alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elipses (v. cónicas) y el Sol ocupa uno de los focos (el otro permanece vacío y no juega ningún papel en el movimiento de los planetas alrededor del Sol). Las tres leyes de Kepler son:

1ª Ley: Los planetas describen una órbita elíptica alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de los focos de dicha elipse.
2ª Ley: Al moverse el planeta en su órbita, el radio vector, segmento que une el planeta con el Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales.
3ª Ley: La relación que existe entre el radio medio de la órbita elevado al cubo y el período elevado al cuadrado es constante para todos los planetas.

Intentó primero inscribir y circunscribir en las órbitas polígonos regulares y después esferas y cubos; pero no atinaba a dar una pauta que proporcionara las dimensiones correctas. De pronto le vino la inspiración. Hay seis planetas, y por tanto, cinco espacios intermedios entre ellos. ¿Y no es cierto que hay cinco y solamente cinco sólidos regulares convexos? Encajando uno dentro de otro los cinco sólidos platónicos en un cierto orden, con esferas intermedias encargadas de traducir las excentricidades de las órbitas elípticas de los planetas, obtuvo una estructura que se correspondía aproximadamente con las que entonces se creía eran las distancias máxima y mínima de los planetas al sol. Durante años, Johannes Kepler estuvo luchando en defensa de la circularidad de las órbitas planetarias, porque entre las curvas cerradas, la circunferencia es la más sencilla. Cuando finalmente se convenció de que las órbitas eran elípticas, escribió que las elipses eran «estiércol» que se vio obligado a introducir para librar a la astronomía de cantidades de estiércol mucho mayores. Este comentario revela gran perspicacia, pues sugiere que introduciendo mayor complejidad en cierto nivel de una teoría podemos lograr mayor simplicidad en el conjunto.



Leonardo da Vinci (1452-1519)

Casi con toda seguridad, Leonardo da Vinci puede ser considerado como uno de los genios universales que más han contribuido al desarrollo científico y artístico de la humanidad. Le correspondió vivir en una época en la que todo, en particular el pensamiento humano, estaba supeditado a la teología. Sin embargo, su gran poder de observación y creatividad desbordaron su entorno.

Aunque Leonardo es más conocido universalmente or su pintura que por su restante obra científica, sus contribuciones a otras artes, por ejemplo la escultura, y a ciencias como ingeniería, mecánica, física, biología, arquitectura, anatomía, geología y matemáticas fue decisiva. Considera a estas últimas como la llave de la naturaleza. Aunque su obra conocida en esta especialidad no está escrita con suficiente rigor ni los resultados obtenidos fueron decisivos en aquel momento, merece, sin embargo, ser considerado en la historia del pensamiento matemático universal por sus prodigiosas intuiciones, en particular, las de carácter geométrico. Algunas de ellas se plasmaron en realidades en los siglos posteriores. Personalmente pienso que en ello radica gran parte de la genialidad de Leonardo. A lo largo de la historia de la humanidad todos, o casi todos, los descubrimientos científicos han sido fruto de una intuición de mentes preparadas para analizar, interpretar y desarrollar fenómenos que a otros pudiesen parecerles banales o intranscendentes. Y Leonardo poseía esa prodigiosa intuición.

Leonardo consideró la ciencia desde un aspecto fundamentalmente visual. Desde este punto de vista, intentó geometrizar los objetos, para así poder explicar, con un lenguaje matemático, todos los fenómenos naturales. Todo lo observa, lo analiza, lo experimenta, siempre que ello le fuera posible, cambia los datos, los modelos, las situaciones, etc. Creía que todos los sucesos fisicos se podían estudiar con modelos y, por tanto, construye infinidad de ellos: desde el de la aorta con sus válvulas, para así poder comprender mejor la corriente sanguínea, hasta el del mar Mediterráneo en miniatura, en el que estudia y analiza las corrientes de los ríos que desembocan en él, utilizando para ello movimientos de partículas, tales como polvos o manchas de tinta. Sin saberlo, estaba profundizando en el estudio de trayectorias de partículas, que tanta importancia han tenido en los siglos posteriores y sobre todo en la actualidad. En sus obras pictóricas y escultóricas, los dibujos y las superficies ya poseen una precisión científica y una perspectiva inigualables.

Leonardo divide la geometría en tres partes:

De visión, mediante la que intenta explicar geométricamente los fenómenos ópticos, utilizando para ello fundamentalmente los cuerpos piramidales y la perspectiva, de la que era un gran conocedor.
De la naturaleza, con la que intenta construir los modelos que le permitan explicar las situaciones que observa en física, mecánica, aerostática, astronomía, etc., ya que considera que los fenómenos naturales se mueven impulsados por relaciones matemáticas sujetas a modelos geométricos.
Geometría pura, en la que aborda alguno de los problemas geométricos que preocupaban en aquel momento; en particular, el de la cuadratura del círculo.

Se preocupa Leonardo por comparar lo grande y lo pequeño, el macrocosmos y el microcosmos, y entender el origen del universo para poderlo explicar racionalmente. En el concepto de punto diferencia perfectamente las concepciones material y geométrico.

Poseía una mente dotada de gran espíritu interdisciplinario. Cuando construye un modelo, una máquina o una teoría no lo hace en función de dicho objeto, siempre existirá una razón natural que le habrá impulsado a ello. Así, por ejemplo, profundiza en el estudio de la mecánica para poder aplicarla, entre otras situaciones, a explicar las fuerzas musculares. Uno de los grandes sueños de toda su vida, que no pudo ver realizado, fue el de que a semejanza de los pájaros, otros cuerpos más pesados que el aire pudiesen volar. También en este caso, todos sus intentos estuvieron basados en diseños y modelos construidos utilizando la geometría.

Desde el punto de vista de la geometría pura, estudia y complementa las obras de Euclides y Arquímedes, entre otros. A través de sus códices conocidos, nos han llegado algunos dibujos de un gran interés. Analiza y estudia de una forma exhaustiva los centros de gravedad de las figuras geométricas. Merece especial atención el estudio que hace de las transformaciones de unas figuras en otras conservando el mismo volumen; así como el incipiente estudio empírico de superficies curvas. Sus métodos son siempre originales, artificiosos, laboriosos y a veces inconclusos, como una gran parte de su obra, ya que frecuentemente era inconstante en su trabajo. Quizás ello fuese debido al gran número de ocupaciones que tenía siempre.

Durante una estancia suya en Milán colaboró con el matemático Luca Pacioli en su obra Divina proportione. Leonardo dibujó además las figuras del primer libro de esta obra. Su admiración por las matemáticas era tan grande que llegó a escribir: «No existe ciertamente nada donde las ciencias matemáticas no puedan ser aplicadas».

Analizando en profundidad toda su obra, se puede considerar a Leonardo da Vinci como el ingeniero y pintor, así le llamaban en la corte de Ludovico el Moro, y como a aquél que ha contribuido poderosamente al desarrollo de la civilización con las diversas y fructíferas aportaciones tanto de carácter artístico como científico que hizo a la humanidad. Quizás podamos afirmar, sin temor a equivocarnos, que Leonardo vivió en una época que no le correspondía, puesto que se adelantó en varios siglos a la suya.

Leonardo era un bromista empedernido, cosa por otro lado muy propia de la gente del Renacimiento. Uno de sus innumerables chistes: «Le preguntaron a un pintor por qué, siendo tan buenas sus pinturas, que eran cosa muerta, hacía los hijos tan feos; a lo cual replicó que las pinturas las hacía de día y los hijos de noche». El Hombre de Vitrubio es uno de los dibujos de los libros de apuntes de Leonardo da Vinci. En cualquier persona la longitud de una estructura (brazos) varía en relación con la de cualquier otra estructura (la altura total del cuerpo) en las diferentes etapas del desarrollo. Los brazos de un bebé son más cortos en relación con la altura del cuerpo que los brazos de un hombre. Si en las dimensiones de una persona particular, y = f(t), designa la longitud de los brazos y x = g(t) la altura de la misma, en función del tiempo, el cociente f(t)/g(t) = y/x se aproxima hacia 1. En las primeras etapas del crecimiento esta relación es aproximadamente 1,2. Este resultado es una característica de la anatomía humana ampliamente reconocida desde que Leonardo da Vinci la representa en su famoso Hombre de Vitrubio.



Newton

Sir Isaac Newton (1642-1727) n. en Inglaterra. De muchacho daba la impresión de ser "tranquilo, silencioso y reflexivo" pero lleno de imaginación. Se divertía construyendo artilugios con los que provocaba admiración entre sus compañeros: un molino de viento, un reloj de agua, un carricoche que andaba mediante una manivela accionada por el propio conductor, cometas con articulaciones y luces, etc. Ingresó en el Trinity College de Cambridge a los 18 años como becario. En 1665 se declaró una epidemia de peste que le obligó a permanecer en casa, donde comenzó a formular los principios de su teoría de la gravitación y del "cálculo de fluxiones", demostró su teorema del binomio, y pulió lentes no esféricas, iniciando así sus estudios sobre la luz. En 1669 fue nombrado profesor de matemáticas en el Trinity College, cargo que desempeño hasta su renuncia en 1701, y desde el que pronunció sus famosas "Lectures" en que expone la mayoría de sus descubrimientos científicos y a las que, sin embargo, casi nadie asistía. En 1676-1678 Leinbiz formuló las bases del cálculo diferencial, que publicó en 1682 y del que Newton reclamó su paternidad con insistencia entre 1709 y 1716. En 1686, estimulado por el astrónomo Halley publicó su obra más importante e influyente: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Desde 1689 hasta 1701 fue miembro del Parlamento y, según se cuenta, no intervino jamás salvo una vez para pedir a un conserje que cerrase una ventana. En 1696 es nombrado inspector de la Casa de la Moneda, y desde entonces dedica sus esfuerzos a ella. Ese mismo año, J. Bernouilli planteó dos difíciles problemas a la comunidad matemática. Leibniz resolvió el primero de ellos (la determinación del brachistocrono) en seis meses y sugirió que se le enviase a Newton y a otros como desafío. Newton devolvió las dos soluciones, junto con otra solución más general del segundo problema, al dia siguiente de recibirlo.

A su muerte, Newton dejó una cuantiosa colección de manuscritos personales. Cuál no sería la sorpresa de los investigadores cuando, al acceder a ellos, descubrieron miles de folios conteniendo estudios de alquimia, comentarios e interpretaciones de textos bíblicos, especialmente los proféticos, así como cálculos herméticos completamente oscuros e ininteligibles. En efecto, Newton fue un fundamentalista, es decir, entendía la Biblia al pie de la letra; creía que el complicado sistema mecánico de astros descubierto por él sólo era una pequeña parte del enigma —«unas piedras más pulidas, más brillantes, halladas en la playa del inmenso océano de la verdad»— dentro del plan divino.

También Newton tenía gran fe en la sencillez radical de la Naturaleza: «La Naturaleza se complace en la sencillez» escribió, parafraseando un pasaje de Aristóteles, «y no en la pompa y afectación de crear causas superfluas».



Pascal

El padre del pequeño Blas Pascal no queria que su hijo estudiase matemáticas. Prefería que dedicase sus esfuerzos a las lenguas antiguas. Pero aquel chico era un prodigio con los números. Según el relato (seguramente exagerado) de su hermana, Blas descubrió en su adolescencia por sí solo numerosos teoremas de Euclides. En vista de semejante prodigio, su padre no tuvo más remedio que ceder y dejarle estudiar matemáticas. A los catorce años fue admitido en una prestigiosa academia. A los dieciséis publicó su primer libro sobre geometría. A los diecinueve consiguió construir una máquina calculadora que ayudaba a su padre -recaudador de impuestos- en sus pesados cálculos. Era la tatarabuela de las calculadoras actuales.

Su correspondencia con el matemático Fermat sobre el juego de los dados dio origen a la teoría del cálculo de probabilidades.

A él se debe el triángulo aritmético o triángulo de Pascal, asi como numerosos descubrimientos en Física.

Siendo ya muy mayor, se hizo miembro de una secta, la jansenista, y pasó el resto de su vida dedicado a la meditación y a la redacción de obras religiosas


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