Superficies cuadráticas

Superficies cuadráticas www.udec.cl/~juanerodriguez

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

Definición (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

$\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0\end{displaymath}$

se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos , y , pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

$\bullet \;$ Elipsoide

La gráfica de la ecuación:

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}$

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0, 0$ ), $(0, \pm b, 0)$ y $(0, 0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide

$\bullet \;$ Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}$

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipse :

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}$

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o son parábola.

Figura 2. Paraboloide elíptico

$\bullet \;$ Paraboloide hiperbólico

La gráfica de la ecuación:

$\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}$

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas (). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3. www.udec.cl/~juanerodriguez

Figura 3. Paraboloide hiperbólico

$\bullet \;$ Cono elíptico

La gráfica de la ecuación:

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}\end{displaymath}$

es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z\; = k\;$ son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas. Su gráfica se muestra en la figura 4.

Figura 4. Cono elíptico

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$\bullet \;$ Hiperboloide de una hoja

La gráfica de la ecuación:

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}$

es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{k^2}{c^2}\end{displaymath}$

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.

Figura 5. Hiperboloide de una hoja

$\bullet \;$ Hiperboloide de dos hojas

La gráfica de la ecuación:

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}$

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es un hiperboloide de dos hojas. Su gráfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales $\;z = k\;$ son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).