ÍNDICE

Prefacio
Cap. I
Cap. II
Cap. III
Cap. IV
Cap. V
Cap. VI
Cap. VII
Cap. VIII

Prefacio

p. 20/ 21:
"[...] una teoría satisfactoria acerca del infinito matemático [...] fue salvada por la obra de Georg Cantor. Pero la solución positiva y detallada [...] sólo se ha vuelto posible por el desarrollo de la lógica matemática, [...]."

Cap. I

p. 23:
"La filosofía, desde sus primeros tiempos, ha sustentado mayores pretensiones y ha alcanzado menores resultados que cualquier otra rama del conocimiento. [...]"

p. 40:
"[...] El instinto, la intuición, o la visión interior es lo que primeramente conduce a las creencias que luego la razón confirma o refuta; [...]La razón es, más bien que fuerza creadora, fuerza que armoniza y prueba. Aun en los dominios más puramente lógicos es la visión interior lo que primero llega a lo nuevo."

p. 44:
"El entendimiento teórico del mundo, que es el objeto de la filosofía, no es asunto de gran importancia práctica ni para los animales, ni para los salvajes, y ni aún para la gran mayoría de los hombres civilizados. [...]"

Cap. II

p. 53:
"Hegel y sus discípulos ensancharon el alcance de la lógica en forma completamente distinta, forma que yo tengo por falaz, [...]."

p. 60:
"[Ha sido un error en la filosofía la] creencia o convicción inconsciente de que todas las proposiciones tienen la forma de sujeto y predicado [...]."

p. 71:
"[...] Debemos por lo tanto admitir que hay un conocimiento general no derivado de los sentidos, y que parte de ese conocimiento no se obtiene por inferencia sino que es primitivo. Tal conocimiento general ha de encontrarse en la lógica. Ignoro si existe algún conocimiento semejante no derivado de la lógica; [...]."

p. 72:
"La lógica, podríamos decir, consta de dos partes. La primera investiga lo que son las proposiciones [...] La segunda parte se ocupa de ciertas proposiciones sumamente generales que aseguran la verdad de todas las proposiciones de determinadas formas. Esta segunda parte se funde con la matemática pura, [...]"

Cap. III

p. 76 y 83:
"En todo problema filosófico, nuestra investigación parte de lo que podríamos llamar datos, con lo cual quiero decir materia del conocimiento común, [...]. De esta manera nos vemos conducidos hacia una distinción un tanto vaga entre lo que podríamos llamar datos "duros" (hard) y datos "blandos" (soft). [...] Llamo datos "duros" (hard) a los que resisten la influencia disolvente de la reflexión crítica, y "blandos" (soft) a los datos que bajo la acción de este proceso, se vuelven más o menos dudosos a nuestra mente. Los datos más duros entre los duros, son de dos clases: los hechos particulares de los sentidos y las verdades de la lógica. [...] Debemos, además, recordar que la distinción entre datos duros y blandos es psicológica y subjetiva, de manera que si hay otras mentes distintas de las nuestras -lo cual, por el momento, debe ser mantenido en duda- el catálogo de los datos duros puede ser para ellas distinto de lo que es para nosotros."

p. 83:
"[...] El problema es en realidad éste: ¿puede la existencia de cualquier cosa que no sea uno de nuestros datos duros ser inferida de la existencia de esos mismos datos? [...]"

p. 84/ 85:
"Cuando decimos que una cosa es "independiente" de otra, queremos decir, o bien que a una le es posible existir lógicamente sin la otra, o bien que no hay relación causal entre ambas, como sería el caso si una ocurriera como efecto de la otra. La única manera, hasta donde yo entiendo, en que una cosa puede ser lógicamente dependiente de otra es aquella en que esta otra es parte de la primera. [...] En este sentido, la pregunta: [...] "¿podemos conocer la existencia de cualquier realidad de la cual no es parte nuestro yo?" formulaba de esta manera, [...] creo que, cualquiera sea la forma en que el "yo" pueda ser definido, [...] nunca se lo puede suponer como parte del objeto inmediato de los sentidos [...]. La cuestión de la dependencia causal es mucho más difícil. [...]"

p. 88:
"[...] Lo que realmente se conoce es una correlación de sensaciones musculares y de otras corporales con cambio en las sensaciones visuales."

p. 95:
"[...] Los objetos de los sentidos, aun cuando se presentan en sueños, son, fuera de toda duda, objetos reales que nos son conocidos. ¿Qué nos hace entonces llamarlos objetos irreales de los sueños? Únicamente la naturaleza inusitada de su conexión con otros objetos de los sentidos. [...] Y contrariamente, no debe esperarse que los objetos de la vigilia tengan mayor realidad intrínseca que la de los sueños. [...]"

p. 95/ 97:
"[...] A medida que caminamos alrededor de la mesa su aspecto cambia. [...] Cuando [todo ha] cambiado por un movimiento corporal, ningún lugar permanece tal como era. [...] El mundo tridimensional visto por una mente no contiene por lo tanto ningún lugar en común con el mundo visto por otra, pues los lugares sólo pueden estar constituidos por las cosas que están dentro o alrededor de ellos. [...] Aún más, podemos suponer que hay un número infinito de mundos que en realidad no son percibidos. [...]"

p. 98:
"[...] De manera, pues, que es posible, a veces, establecer una correlación de similitud entre un gran número de cosas de una perspectiva y un gran número de cosas de otra. [...] De esta manera, el espacio que consiste en relaciones entre perspectivas puede ser transformado en continuo, y (si lo preferimos) en tridimensional."

p. 98 y 101:
"[...] Todos los aspectos de una cosa son reales, mientras que la cosa es una construcción puramente lógica. Ésta tiene, con todo, el mérito de ser neutral entre los diferentes puntos de vista, y de ser visible para más de una persona, en el único sentido que puede ser visible, es decir, en el sentido de que cada cual ve uno de sus aspectos. [...] Cada aspecto de una cosa es miembro de dos clases diferentes de aspectos, a saber: 1) los diversos aspectos de la cosa, de los cuales a lo sumo uno aparece en cualquier perspectiva dada; 2) la perspectiva de la cual el aspecto dado es miembro, es decir, aquella en que la cosa tiene el aspecto dado. El físico clasifica naturalmente a los aspectos en la primera forma, el psicólogo en la segunda. [...]"

p. 101:
"Podemos definir [el] aquí como el lugar, en el "espacio de perspectivas", [lo] ocupado por nuestro mundo particular. [Así, pues,] nuestro mundo particular es un lugar en el "espacio de perspectivas" y puede ser parte del lugar en donde se halla nuestra cabeza. Se observará que hay dos lugares en el "espacio de perspectivas" asociados a cada aspecto de una cosa, a saber: el lugar en que está la cosa, y el lugar que constituye la perspectiva de la cual el aspecto en cuestión forma parte."

p. 102:
"[...] Tratemos ahora de precisar el hecho de que el medio interpuesto modifica el aspecto que presenta una cosa en un lugar determinado. [...]"

p. 104.
"[Dada una escena onírica,] con nuestra intervención, puede ocurrir en un sueño, caso en el cual se considera que la inferencia es equivocada. ¿Hay algo que pueda hacer más convincente el argumento por analogía cuando estamos (como creemos) despiertos? [...] La hipótesis natural sería la de creer que los demonios y los espíritus de los muertos nos visitan mientras dormimos; pero las mentes modernas rechazan, por regla general, esta opinión, aunque es muy difícil ver lo que se podría decir en contra. [...]"

Cap. IV

p. 109:
"[...] la teoría de los quanta. Aquí, la unidad indivisible es una unidad de "acción", es decir energía multiplicada por tiempo, o masa multiplicada por distancia y por velocidad. [...]"

p. 113:
"[...] El problema es el siguiente: ¿En razón de qué principios hemos de seleccionar ciertos datos del caos, y llamarlos a todos apariencias de una misma cosa? [...]"

p. 116:
"Cosas son aquellos conjuntos ordenados de aspectos que obedecen a las leyes de la física."

p. 116:
"[...] Los datos de los sentidos, puede decirse, pertenecen a la psicología y son, en cierto modo por lo menos, subjetivos, mientras que la física es completamente independiente de consideraciones psicológicas, y no supone que su materia exista solamente cuando se la percibe."

p. 118/ 119:
"[...] los diferentes sentidos tienen espacios distintos. [...] Es sólo por experiencia en la niñez cómo aprendemos a correlacionarlos. [...] El espacio único en que ambas clases de sensaciones encajan es una construcción intelectual, no un dato. [...] El espacio único, compuesto por los distintos espacios, puede tornarse válido como construcción lógica, pero no hay ninguna razón atendible para suponer su realidad metafísica independiente."

p. 119/ 120:
"[...] El espacio de la geometría y de la física se compone de un número infinito de puntos, pero nadie ha visto o tocado ningunos de esos puntos. Si hay puntos en un espacio sensible, deben ser una inferencia. [...] Antes que nada debemos observar que no hay datos infinitesimales en los sentidos: cualquier superficie que podamos ver, por ejemplo, deberá ser de cierta extensión finita. Suponemos que esto se aplica no sólo a los datos de los sentidos, sino también a toda la materia de que se compone el mundo: todo lo que no sea una abstracción tiene un tamaño espacio-temporal finito, aunque no podamos descubrir el límite inferior [-ni mayor-] de los tamaños posibles. [...]"

Cap. V

p. 140:
"[La] infinita divisibilidad [de un objeto] parecería significar, a primera vista, que hay distancias infinitesimales; [...] Esto es, sin embargo, un error. [...] "Pero", se dirá, "al fin la distancia se volverá infinitesimal". No, puesto que no hay fin. [...] El lenguaje común no se adapta bien a la expresión de asuntos de esta naturaleza, [...]."

Cap. VI

p. 157:
"[...] George Cantor demostró que las supuestas contradicciones son ilusorias, ya no hay razón alguna para buscar una explicación finita del mundo. Todas las dificultades atribuidas a la continuidad tienen su origen en el hecho de que un ordenamiento continuo deberá tener un número infinito de elementos: ellas son, por consiguiente, dificultades referentes al infinito. [...]"

p. 180:
"[...] Etimológicamente, "infinito" debería significar "que no tiene fin". Pero en verdad algunos ordenamientos infinitos tienen fin, y algunos no lo tienen, mientras que algunos conjuntos son infinitos sin ser ordenamientos, y por lo tanto no puede decirse ni que tengan ni que no tengan fin. [...]"

Cap. VII

p. 184:
"Entre la filosofía y la matemática pura hay cierta afinidad abonada por la circunstancia de que ambas son generales y a priori. [...] La diferencia entre la filosofía y la matemática puede ilustrarse por medio de nuestro presente problema, es decir, la naturaleza del número. [...]"

p. 187:
"[...] En realidad, la operación de contar sólo puede realizarla inteligentemente la persona que ya tenga alguna idea de lo que son los números: y de aquí se desprende que contar no puede ser la base lógica del número."

p. 188, 195 y 197:
"Hay dos aspectos en los números infinitos que se conocen difieren de los números finitos: [...] reflexibilidad [ y no-inductividad.] Se dice que un número es reflexivo cuando no puede ser aumentado añadiéndole uno. [Una] propiedad inductiva de los números es aquella que es hereditaria y pertenece a cero. [...] Se sabe que todos los números reflexivos son no-inductivos, pero no se sabe que todos los números no-inductivos sean reflexivos; [...] Ello, no obstante, los números infinitos actualmente conocidos son, todos, tanto reflexivos como no-inductivos; [...]"

p. 197/ 199:
Descubrimientos:
- la teoría de los números infinitos, por George Cantor, en 1882-3.
- la definición de número, por Gottlob Frege, 1879. El número no es ni espacial, ni físico, ni subjetivo, sino no-sensible y objetivo (objetivo en el sentido de cosa no real, concreta).

p. 200:
"Los números son propiedades de los términos generales o de las descripciones generales, y no de las cosas físicas o de los sucesos mentales."

Cap. VIII

RUSSELL, Bertrand: Análisis de la materia (1927), trad. por Eulogio Mellado, 2a ed., Madrid, Taurus, 1976, fragmentos.

ÍNDICE

Prefacio
Parte Primera.
Parte Segunda.
Parte Tercera.

Prefacio

Parte Primera.

p. 24:
"[...] Las antinomias de Kant y las supuestas dificultades del infinito y de la continuidad fueron, finalmente, resueltas por Cantor. [...]"

p. 25:
"[...] Leibnitz suponía que existían infinitesimales, aunque todo lo que somos capaces de observar excede de un cierto tamaño mínimo. [...]"

p. 35:
"La física contemporánea puede ser dividida en dos partes: una, que se ocupa de la propagación de la energía en la materia o en regiones donde no hay materia, y la otra que estudia los intercambios de energía entre esas regiones y la materia. La primera parte se ha encontrado que exige continuidad, la segunda discontinuidad. [...]"

p. 55:
"[...] ¿Tenemos alguna buena razón para creer que el espcacio-tiempo es continuo? [...]"

p. 57/ 58 y 400:
Ecuación de Heisenberg:

pq - qp = ( h / 2 ) . 1

donde p: momento generalizado o "impulso" (matriz)
q: coordenada hamiltoniana (matriz)
h: constante de Planck
1: matriz diagonal unidad

p. 69:
"[...] El crecimiento de la masa, con un movimiento rápido, se conocía experimentalmente antes de que fuera explicado por la teoría especial de la relatividad. [...]"

p. 69:
"[...] Supongamos tres cuerpos moviéndose uniformemente en la misma dirección. La velocidad del segundo relativamente al primero es v, la del tercero al segundo w. ¿Cuál es la velocidad del tercero respecto al primero? Debería creerse que v + w; pero, en realidad es:
( v + w ) / ( 1 + v w / c2 )
[...] Esto indica la forma en que la velocidad de la luz desempeña el papel de infinito [-límite-] en relación con los movimientos materiales."

p. 87:
"[...] dy/ dx es el límite de una fracción; [...]"

p. 125/ 126:
"[...] Largo tiempo hace que es ya un lugar común de la física que sus leyes causales deben tener este carácter diferencial: deben indicarnos ante todo la tendencia en cada momento, [...]."

p. 126:
"Este aspecto de las leyes causales está ausente de la teoría de los quanta, de las ideas de los salvajes y personas ineducadas y de los trabajos de los filósofos, [...]."

p. 130:
"[...] Así, cuando decimos que las leyes tienen que expresarse en ecuaciones diferenciales, queremos afirmar que las relaciones finitas, que tengan lugar, no pueden formularse en forma de leyes exactas, sino solamente sus límites, disminuyendo las distancias. No decimos con ello que estos límites sean las verdaderas realidades físicas; por el contrario éstas continúan siendo las relaciones finitas. [...]"

p. 142:
"[...] Dondequiera que observamos una serie cualitativa, tal como la de los colores de un arco iris, suponemos que debe haber causalidad e insistimos en que los números utilizados como medidas deben tener el mismo orden que las cualidades que miden. Lo primero es un postulado, lo segundo una convención. Ambos han demostrado su utilidad, pero ninguno de ellos es una necesidad a priori. Hay órdenes que, evidentemente, carecen de importancia causal, [...]."

p. 147:
"[...] si el espacio tiempo es continuo, parece que la medición espacio-temporal depende teoréticamente de la semejanza cualitativa, [...]."

p. 151/ 152:
"[...] Si llamamos m a la masa invariante [-con respecto a coordenadas y no del tiempo-] y M a la masa relativa, tomando la velocidad de la luz como unidad y llamando v a la velocidad del cuerpo relativamente al observador, tendremos:

M = m / ( 1 - v2 ) 1/2

De aquí se deduce que M crece a medida que v aumenta; si v es la velocidad de la luz, M se hace infinita, siendo m finita. En realidad, la masa invariante de la luz es cero y su masa relativa finita. Dondequiera que la energía se encuentre asociada con la materia, existe una masa invariante finita m; pero allí donde la energía se encuentre en un "espacio vacío" m es cero. Esto puede considerarse como una definición de la diferencia entre materia y espacio vacío. [...] La conservación de la energía es la conservación de M, no de m; [...]."

p. 154/ 155:
" [...] dice el doctor Ellis [que es] "completamente imposible observar la luz en el curso de su propagación; los únicos hechos que pueden estudiarse son la emisión y la absorción de la misma. [...]""

Parte Segunda.

p. 171/ 172:
"[...] Debe esperarse que la evidencia no será tal que nos dé la certidumbre, sino que a lo más nos dará una probabilidad; [...]. Esto demuestra que no existe un límite bien marcado entre la ciencia y el sentido común: los dos implican esperanzas de hechos, que han de ocurrir; pero las que se derivan de la ciencia son más seguras. [...]"

p. 174/ 175:
Whitehead acepta la existencia de un espacio-tiempo para lo táctil, y otro para el visual, y que sería necesario admitir una armonía preestablecida en la actitud de correlaciones perceptuales físicas.

p. 177/ 178:
"[...] En el lenguaje de la teoría causal de la percepción decimos que vista y tacto tienen una causa común, externa por lo general al cuerpo. No es mi propósito negar esto, sino solamente puntualizar que, si consideramos la base de nuestro conocimiento, no podemos afirmar que conozcamos la correlación, porque no es conocida la causa común externa. [...] Lo que aprendemos en la experiencia infantil no es que la vista y el tacto sean siempre correlativos; es posible tocar en la oscuridad o con los ojos tapados, y es posible también ver sin tocar. [...]"

p. 190:
"[...] el sistema de Leibnitz, [...] creo que contiene atisbos de una metafísica compatible con la física moderna y con la psicología, aunque necesita, desde luego, importantes modificaciones."

p. 192/ 194:
"[...] Podríamos distinguir tres clases de física, según las experiencias sensibles de que se derivan sus teorías; las llamaré física muscular, física táctil y física visual [...]. La física muscular está condensada en la idea de "fuerza". [...] La física táctil [en la] conservación de la cantidad de movimiento [...] La física visual [a la] astronomía [...]."

p. 215/ 216:
"[...] se deseamos construir una ciencia exacta debemos desconfiar de las asociaciones que la experiencia nos lleva a formar, [...]."

p. 234:
"[...] Respecto al carácter fragmentario del mundo que percibimos, aquellos que lo niegan se ven obligados a introducir percepciones minúsculas, como Leibnitz, o percepciones inconscientes o percepciones vagas o algo por el estilo. [...]"

p. 249:
"La metafísica que venimos desarrollando es, esencialmente, la de Berkeley: todo lo que es, es percibido. Pero nuestras razones son algo diferentes a las suyas. No sugerimos que haya imposibilidad alguna de existencia para las entidades no percibidas, sino solamente que no existe base segura para creer en ellas. Berkeley creía que lo que podía aducirse contra ellas era definitivo; [...]."

p. 274:
"[...] Podríamos suponer, como ha sugerido una vez Poincaré y como parece que creía Pitágoras, que el espacio y el tiempo son granulares, no continuos, esto es: que la distancia entre dos electrones puede ser siempre un múltiplo entero de alguna unidad, y lo mismo el tiempo transcurrido entre dos acontecimientos de la historia de un electrón. [...]"

p. 281:
"El lenguaje escrito depende de la teoría causal de la percepción y de la existencia de objetos físicos; El lenguaje hablado implica la primera, pero no la segunda. [...]"

p. 285 y 419:
"[...] Llegamos, pues, a la conclusión de que, dado un acontecimiento x en un tiempo t, existirán en los tiempos contiguos acontecimientos muy análogos al primero. Esto lo podemos simbolizar diciendo que si existe un acontecimiento x en un tiempo t, existirá en cualquier otro tiempo contiguo t + dt, otro acontecimiento:

x + f1(x) dt + f2(x) dt2

siendo f1(x) una función continua en el tiempo, en tanto que f2(x) viene determinada por las ecuaciones diferenciales del segundo orden de la física. El conjunto de acontecimientos de esta manera relacionados es lo que se llama una porción de materia. En el caso de los cambios súbitos, que admite la teoría de los quanta, existe, a pesar de ello, continuidad en todo, excepto en la posición espacial y esta última sufre un cambio que se encuentra necesariamente entre un pequeño número de cambios posibles. [...] No sabemos si los cambios de quanta son efectivamente súbitos o no; no sabemos si el espacio encerrado en la estructura atómica es continuo o discreto. [...]"

p. 289:
"Ante todo es preciso aclarar qué es lo que entendemos por estructura. Esta noción no es aplicable a las clases, sino sólo a las relaciones o sistema de relaciones. [...]"

p. 294/ 295:
"[...] no existe dificultad para adaptar la afirmación de que los tiempos psicológico y físico son idénticos a las exigencias de la teoría de la relatividad. En este respecto el tiempo difiere del espacio porque, físicamente, todas nuestras percepciones simultáneas se refieren a un mismo lugar. [...] Así, pues, la conclusión que podemos sacar parece ser la siguiente: el tiempo psicológico puede ser identificado con el tiempo físico, porque ninguno de ellos es un dato, sino que cada uno se deriva de otros datos, por deducciones [...]."

p. 315:
"[...] La única actitud legítima respecto al mundo físico nos parece que debe ser la de un completo agnosticismo en lo que concierne a todo lo que no sean sus propiedades matemáticas. [...]"

Parte Tercera.

p. 319/ 320:
"Hemos encontrado hasta ahora que lo que nosotros conocemos del mundo físico puede dividirse en dos partes: por un lado, el conocimiento concreto, pero discontinuo de las percepciones; por otro, el conocimiento abstracto pero sistemático del mundo físico, tomado como un todo. [...]"

p. 323/ 324:
"[...] Las paradojas del movimiento, las antinomias, la objeción de Bergson al análisis y la insistencia de los filósofos en que el continuo cantoriano no resuelve sus dificultades, se derivan todas de este mismo problema de que un movimiento parece componerse de movimientos, o, según dice Kant, de que un espacio está compuesto de espacios."

p. 328 y 355:
"[...] Nosotros percibimos acontecimientos [-campos de co-presencia-], no sustancias; es decir, que lo que percibimos ocupa un volumen de espacio-tiempo, [...]."

p. 363/ 364:
"La noción de causalidad ha quedado grandemente modificada, al hacer la sustitución del espacio y del tiempo por el espacio-tiempo. [Para] adaptar nuestra terminología a las necesidades modernas, acontecimientos separados por intervalos son seudo-tiempos. [Podemos] distinguir los intervalos de seudo-tiempo de los seudo-espacio, diciendo que los primeros se producen allí donde existe alguna relación causal directa, en tanto que los últimos se producen cuando los dos acontecimientos están relacionados con un predecesor común o con un común descendiente. [...]"

p. 368:
"[...] La historia de un trozo de materia es una "línea de universo"; la historia de una onda luminosa no lo es. [...]"

p. 372:
"[...] en la teoría de Heisenberg el electrón no es un punto, ni tampoco tiene magnitud finita, puesto que las concepciones espaciales ordinarias no son aplicables a él. [...]"

p. 373:
"[...] la continuidad no es la esencia de la identidad material; [...]."

p. 374:
"Así, cada unidad material es una línea causal, cuyos puntos cercanos están conectados entre sí por medio de una ley diferencial intrínseca. La forma más sencilla de esta ley es la primera ley del movimiento, [...]"

p. 377:
"Llamamos ley causal "extrínseca" a cualquier fórmula en que aparezca una porción de materia ejerciendo su influjo sobre el comportamiento de otra. [...]"

p. 379:
"[...] El mundo físico es aquel que es causalmente continuo con las percepciones, y lo que no tiene esta continuidad cae fuera de la física. [...]"

p. 382:
"Pero ¿qué debemos decir acerca de la emisión y de la absorción de luz? [Que] todas las percepciones visuales implican este proceso de absorción de luz. Y si la percepción puede ser alguna vez una fuente de conocimiento de las cosas existentes fuera del cuerpo del percipiente, debe haber leyes causales que relacionen lo que ocurre al percipiente con lo que acontece fuera. [...]"

p. 384:
"[...] En el estado presente del conocimiento físico es necesario dejar abierta la cuestión de si la luz se transmite en una sola dirección o si lo hace según una onda esférica. [...]"

p. 384:
"[...] Cuando la luz es absorbida, deja de existir como luz, aunque puede reaparecer (en la fluorescencia). Pero frecuentemente su energía existe en formas descubribles -formas químicas, en la clorofila, por ejemplo. En cambio, cuando la energía existe en forma de un movimiento estable del electrón en su órbita, no es descubrible hasta que se produce un cambio de órbita. [...]"

p. 388:
"Es imposible eliminar totalmente el factor subjetivo en nuestro conocimiento del mundo, puesto que no podemos averiguar experimentalmente qué aspecto ofrece el mundo desde un punto en que no haya nadie para verlo. [...]"

p. 396:
"La acción se define, generalmente, como la integral temporal de la energía, puesto que la energía puede ser identificada con la masa, la "acción" puede definirse también como la masa multiplicada por el tiempo. La masa gravitatoria es una longitud; por ejemplo: la masa del sol es 1,47 kilómetros (Eddington, op. cit., p. 87). Como la masa gravitatoria y la inerte son iguales, podemos considerar la acción como longitud multiplicada por el tiempo. [...]"

p. 410:
"[...] la frecuencia de una onda luminosa es una característica que ésta tiene en relación con la materia, no en relación consigo misma. [...]"

p. 413 y 433:
División de los acontecimientos físicos, y que tienen leyes diferentes cada una en sí:
- fijos (los de "movimientos fijos")
- ritmos (procesos periódicos)
- trans-acciones (transición de quanta, en los que los cambios de quanta en que la energía pasa de un sistema a otro)
Pero que tienen leyes que las relacionan:
- fijos con ritmos leyes de la armonía

p. 415:
"[...] Lo que comúnmente se llama frecuencia de una onda luminosa es su frecuencia con relación a ejes fijados relativamente al cuerpo emisor. [...]"

p. 415:
"[...] Si queremos comprender la luz en sí misma, no en su relación con la materia, debemos dejar que nuestros ejes viajen con ella. [...]"

p. 417/ 418:
"[Hablando de la velocidad rotativa del electrón] Pero ¿porqué tiene el electrón que estar afectado por este hecho? ¿Por qué ha de estar relacionada con él su capacidad de emitir luz? debe ocurrir algo allí en donde el electrón se encuentra, si el proceso ha de ser inteligible. Esto nos retrae a las ecuaciones de Maxwell como rectoras de lo que ocurre en el medio. Y tiene que haber un carácter rítmico en los acontecimientos que se producen donde está el electrón, si queremos evitar las complicaciones que supone el admitir la acción a distancia."

p. 428:
"[...] Hay una relación causal dondequiera que dos acontecimientos, o dos grupos de acontecimientos, de los cuales uno por lo menos es co-puntual, están relacionados por medio de una ley que permite, partiendo de uno, deducir algo sobre el otro. [...] Diremos entonces que todas las relaciones causales consisten en una serie de ritmos o de acontecimientos fijos, separados por "trans-acciones". [...]"

p. 431:
"[...] Si hemos de admitir que la luz procedente de una estrella altera su dirección al pasar cerca del sol, tendremos que pensar que el viaje de la luz es un proceso, no un mero acontecimiento continuado. [...]"

p. 431:
"[...] La gravitación consiste en el hecho de que una geodésica es geométricamente diferente de lo que sería en ausencia del campo gravitatorio; la trayectoria de la luz no resulta "en realidad" desviada, sino que, en cada caso, es "realmente" la más corta geométricamente posible. [...]"

p. 432:
"Decir que la mayor velocidad de la naturaleza es la de la luz equivale a afirmar que, cuando dos transiciones son el principio y el fin respectivamente de un acontecimiento luminoso, no existe transición que sea descendiente causal de una y antecedente causal de la otra. [...]"

p. 432:
"[...] el intervalo entre dos puntos de un rayo luminoso [es] cero. [...]"

p. 435/ 436:
"No hay dificultad ninguna para definir lo que se entiende al decir que un acontecimiento fijo "se mueve". Un acontecimiento E ocupa un cierto número de puntos de espacio-tiempo, cuyo conjunto puede imaginarse como un tubo cuatridimensional divisible en secciones, tales que todos los puntos de una sección resulten simultáneos y sean todos anteriores o todos posteriores a todos los puntos de otra de las secciones. Consideremos entonces que nuestro acontecimiento E se mueve a lo largo del tubo y va ocupando sucesivamente las diferentes secciones instantáneas. [...]"

p. 436:
"[...] en lo que se me alcanza no existe adecuado fundamento para suponer que el movimiento es continuo; vale la pena por ello desarrollar una hipótesis discontinua, [...]"

p. 443:
"[...] La segunda ley de la termodinámica establece un proceso irreversible, pero es puramente estadístico. [...]"

p. 445/ 446:
"Todo el materialismo como el idealismo, han incurrido, inconscientemente, y a pesar de sus explícitas protestas, en una confusión al imaginar su concepción de la materia. Han creído que la materia del mundo exterior viene representada por las percepciones del individuo, cuando éste ejercita la vista y el tacto, en tanto que, en realidad, dichas percepciones forman parte de la materia del cerebro del percipiente. [...] Pero estudiando nuestras percepciones obtenemos también un conocimiento que no es puramente formal en lo que se refiere a la materia que constituye nuestros cerebros. [...]"

p. 446:
"[...] Yo diría que lo que ve el fisiólogo cuando examina un cerebro es una parte del suyo propio, no del que está examinando. [Así,] nuestras percepciones se encuentran en nuestros propios cerebros, [...]."

p. 447:
"[...] ¿Puede ser un acontecimiento mental co-presente de un acontecimiento físico? [...] Esta es, por tanto, la cuestión esencial."

p. 447:
"[...] Un trozo de materia es una estructura lógica, compuesta de acontecimientos; las leyes causales de los acontecimientos en cuestión y las propiedades lógicas abstractas de sus relaciones espacio-temporales son más o menos conocidas, pero su carácter intrínseco es desconocido por completo. [...]"

p. 447:
"[...] No hay, por tanto, base alguna para la suposición de que las percepciones no puedan ser acontecimientos físicos o para la de que aquéllas nunca puedan ser co-presentes con otros acontecimientos físicos."

p. 448:
"Por todo lo expuesto, afirmamos que dos percepciones simultáneas de un mismo percipiente tienen la relación de co-presencia, fuera de la cual se produce el orden espacio-temporal. [...]"

p.449:
"[...] La materia que nosotros construimos es impenetrable por definición; en efecto, la materia en un lugar cualquiera está constituida por todos los acontecimientos que allí se dan, y en consecuencia, no puede existir en el mismo sitio ningún otro acontecimiento o trozo de materia. [...]"

p. 453:
"[...] Es evidente que un hombre que puede ver conoce muchas cosas desconocidas para un ciego, pero a este último le es posible conocer la totalidad de la física [-no está "engañado" por la vista, o correlación perceptual-]. Así, pues, el conocimiento que los demás poseen y de que este último carece no forma parte de la física."

p. 461:
"[...] Parece que la energía puede dividirse en porciones que se mueven según líneas geodésicas; cuando se mueven con una velocidad menor que la de la luz, se considera que son trozos de materia. [...]"

p. 461/ 462:
Creo que Russell afirma lo radical pitagórico en el cuadrivector:

s2 = rx2 + ry2 + rz2 + t2

p. 463:
"[...] El solipsismo, como teoría seriamente epistemológica, afirma la idea de que no hay modo de deducir de los acontecimientos que experimentamos el carácter de los mismos, y ni siquiera la existencia de los que no experimentamos. [...]"

p. 464:
"Ocupando una posición intermedia entre el solipsismo y las ideas científicas corrientes, existe una teoría llamada "fenomenalismo". Esta teorías admite que hay otros acontecimientos además de los que experimentamos, pero sostiene que aquellos son, en su totalidad, percepciones u otros acontecimientos mentales. Prácticamente ello quiere decir (cuando la teoría viene definida por hombres de ciencia) que éstos aceptan el testimonio de otros observadores en lo que han experimentado realmente, pero se niegan a deducir de aquí cualquier cosa que no haya sido experimentada por observador alguno. [...]"

RUSSELL, Bertrand: Introducción a la filosofía matemática, trad. por Florencio D. Jaime y luego por Juan B. Molinari, Bs. As., Losada, 1945, fragmentos.

"Las cinco proposiciones primitas que Peano admite son: 1a Cero es un número; 2a El sucesivo de un número es un número; 3a Dos números nunca tienen un mismo sucesivo; 4a Cero no es el sucesivo de ningún número; 5a Toda propiedad que pertenezca a cero y al sucesivo de un número que tenga esa misma propiedad, pertenecerá a todos los números [propiedad inductiva]." (Cap. I, p. 16)
"Se dice que una propiedad es "inductiva" cuando es una propiedad hereditaria que pertenece a cero. [...]" (Cap. III, p. 40)
"[...] No existe ningún número cardinal inductivo que corresponda a m/0. Nosotros podemos llamarla "el infinito de los números racionales". Este es un ejemplo del tipo de infinito que es clásico en la matemática, y que está representado por " ". Esto es totalmente diferente del infinito Cantoriano, que consideraremos en el siguiente capítulo. El infinito de los racionales no requiere, ni por definición ni por su uso, ninguna clase infinita de enteros infinitos. [...] Se observará que cero e infinito, considerados como relaciones, no son del tipo de "uno a uno". Cero es una relación de "uno a varios", e infinito es una relación de "varios a uno"." (Cap. VII, p. 96)
"[...] Si n es un número inductivo cualquiera, el número de elementos desde cero a n (incluidos ambos) es n +1. En consecuencia el número total de los números inductivos es mayor que n , cualquiera que sea el número inductivo n. Si ordenamos los números inductivos en una sucesión por orden de magnitud, esta sucesión no tiene último elemento; [...]. En esta forma el número de los números inductivos es un nuevo número, diferentes de todos ellos, y que no posee todas las propiedades inductivas. [...] El hecho de no variar por la adición de 1 es empleado por Cantor para definir lo que él llama número cardinal "transfinito"; pero, por diversas razones, algunas de las cuales aparecerán más adelante, es mejor definir un número cardinal infinito como un número que no pese todas las propiedades inductivas, es decir, simplemente como un número que no es inductivo. [...]" (Cap. VIII, pp. 116-117)
"[...] Una clase "reflexiva" es toda aquélla que es coordinable con una de sus propias partes. [...] Un número cardinal reflexivo es el número cardinal de una clase reflexiva. [...] La relación de n con n +1, limitada los números inductivos, es una relación de "uno a uno"; [...]." [v.g.: n es reflexivo por relacionarse con 2n (paridad de n) y también inductivo por relacionarse con n + 1] (Cap. VIII, pp. 118-119)
"[...] Por otra parte, la relación de n con 2n , limitada a los números inductivos, es de "uno a uno", teniendo como dominio a la totalidad de los números inductivos y como dominio recíproco solamente a los números inductivos pares. De aquí que el número total de números inductivos es el mismo que el de los números inductivos pares. Esta propiedad fue empleada por Leibniz (y por muchos otros) como una prueba de que los números infinitos son imposibles; se pensó que era contradictorio que "la parte pudiera ser igual al todo". Pero esta es una afirmación cuyo fundamento es muy impreciso para ser aceptada." (Cap. VIII, p. 119)
"[...] Cantor ha adoptado el Alef hebreo con subíndice cero [para designar el menor número cardinal infinito], a fin de distinguirlo de los números cardinales infinitos mayores, a los cuales asigna con otros subíndices. Así el nombre del número cardinal infinito menor es 0." (Cap. VIII, p. 123)
"[...] el número de las razones (o fracciones) es exactamente el mismo que el de los números inductivos, es decir 0." (Cap. VIII, p. 124)
"No obstante, no es el caso de que todo tenga 0 elementos. El número de los números reales, por ejemplo, es mayor que 0; es, en efecto 2 0, y no es difícil demostrar que 2n es mayor que n, aun cuando n es infinito. [...]" (Cap. VIII, p. 125)
"[...] no existe máximum para los números cardinales infinitos. Por grande que sea un número infinito n, 2n será todavía mayor. La aritmética de los números infinitos es algo sorprendente cuando no se está acostumbrado a ella. Tenemos por ejemplo: 0 + 1 = 0, 0 + n = 0, cuando n es un número inductivo cualquiera; y 02 = 0. [...] También: 0n = 0, [...]. Pero 2 0 0." (Cap. VIII, pp. 127-128)
"Aunque la adición y la multiplicación son siempre posibles con números cardinales infinitos, la substracción y la división no dan resultados definidos y no pueden emplearse como se lo hace en aritmética elemental. Comencemos con la substracción: mientras el número a restar es finito, no hay inconveniente; si el otro número es "reflexivo", no cambia. Así 0 - n = 0, si n es finito; hasta este momento la substracción da un resultado preciso. Pero es distinto cuando restamos 0 de sí mismo; podemos obtener entonces cualquier resultado, desde cero hasta 0. [...] Con respecto a la división, se llega a resultados muy semejantes por el hecho de que 0 no cambia si se lo multiplica por 2, por 3, o por cualquier número finito n o por 0. De donde se sigue que 0 dividido por 0 puede dar cualquier valor desde 1 hasta 0." (Cap. VIII, pp. 128-129)
"Por la ambigüedad de la substracción y de la división, resulta que las nociones de número negativo y de razón no pueden ser extendidas a los números infinitos. en la adición, multiplicación y potenciación no hay dificultades, pero en las operaciones inversas -substracción, división y extracción de raíces- resultan imprecisas, y las nociones que provienen de ellas no son válidas cuando se trata de números infinitos." (Cap. VIII, p. 129)
"La característica por la cual definimos lo finito fue la inducción matemática, [...] a partir de cero, [...]." (Cap. VIII, p. 129)
"[...] La totalidad del cálculo diferencial e integral, y en verdad, prácticamente toda la matemática superior, depende de la noción de límite. Anteriormente se suponía que los infinitesimales estaban incluidos en los fundamentos de esta noción, pero Weierstrass demostró que esto era un error; cuando se estaba en presencia de lo que se creía que eran los infinitesimales se estaba, en realidad, frente a un conjunto de cantidades finitas que tienen como límite inferior a cero. Habitualmente se consideraba a este "límite" como una noción esencialmente cuantitativa, es decir, como una cantidad a la cual otras se aproximaban cada vez más, hasta poder diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada. Pero, en realidad, la noción de "límite" es puramente ordinal y no implica idea alguna de cantidad (salvo, accidentalmente, cuando el conjunto considerado es cuantitativo). Un punto dado sobre una línea puede ser el límite de un conjunto de puntos de la misma, sin que sea necesario introducir coordenadas, medidas o términos cuantitativos de ninguna naturaleza. El número cardinal 0 es el límite (en orden de magnitud) de los números cardinales 1, 2, 3,... n,... aunque la diferencia entre 0 y un número cardinal finito sea constante e infinita. Desde un punto de vista cuantitativo, los números finitos se aproximan tanto más a 0 cuanto más va aumentando; lo que hace a 0 el límite de los números finitos es el hecho de que en la sucesión va inmediatamente después de ellos, hecho que es de carácter ordinal y no cuantitativo." (Cap. X, pp. 142-143)
"En este capítulo nos ocuparemos de la definición del límite de una función (si lo tiene) [...]." (Cap. XI, p. 154)
"Se dice que la "función f (x) es continua" para el argumento a cuando, para cada número positivo , diferente de cero pero tan pequeño como se quiera, existe un número positivo , diferente de cero, tal que, para todos los valores de que sean numéricamente menores [se dice que un número es "numéricamente menor" que cuando está entre - y + ]) que , la diferencia f (a + ) - f (a) sea numéricamente menor que ." (Cap. XI, p. 158)
"[...] Sabemos que 2 X 0 = 0.[...]" (Cap. XII, p. 180)

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