Primera ley de la termodinámica Ejercicios sugeridos

Primera ley de la termodinámica

Hasta épocas relativamente recientes (ca. 1840) se suponía que el calor era una propiedad de los cuerpos capaz de pasar de uno a otro como un fluido, al cual por entonces se denominaba “calórico”.  Aunque esta teoría está obsoleta desde hace mucho tiempo, aun se sigue hablando de "calor", a pesar de que en realidad se trata de mera transferencia de energía: Si se transporta energía de una sustancia u objeto a otro por medio de una diferencia de temperatura entre ellos, este transporte será referido como flujo de calor.  La cantidad de energía es el calor.

A fin de introducir la primera ley de la termodinámica, partamos revisando el concepto de trabajo en el contexto de los fluidos. Cuando una sustancia o un sistema se expande o se comprime, el trabajo W realizado por el sistema puede calcularse en la forma siguiente.  Supóngase un gas a presión P comprimido por un émbolo de área A. El gas ejerce sobre el émbolo una fuerza PA.  Cuando el émbolo se desplaza una pequeña distancia x paralelamente a la fuerza, el trabajo realizado por el gas es W=Fx=PAx.  Como Ax=V es el cambio de volumen del gas, el trabajo realizado por él es

En el caso de un desplazamiento que no pueda ser considerado infinitesimal, debe considerarse una suma de pequeños desplazamientos x, cada uno con su propia fuerza F asociada, de modo que el trabajo total realizado por el sistema es la suma de todos los términos PV

En resumen, en el caso de gases el trabajo es el área bajo la curva en un gráfico P-V.  Este resultado, obtenido para el caso de la expansión de un gas, es completamente general, siendo válido incluso para líquidos y sólidos.

Un caso en el cual ésta relación se reduce a una expresión matemática muy sencilla es cuando la transformación en estudio se realiza isobáricamente, es decir, manteniendo la presión constante durante el proceso.  En ese caso, con la presión constante, el área bajo la curva en el gráfico P-V se reduce simplemente a un cuadrilátero.  Si los volúmenes inicial y final se designan por V_i y V_f, respectivamente, el trabajo realizado es

En este caso, el trabajo realizado por el sistema es positivo si (V_f - V_i ) es positivo (expansión del fluido o sistema) y negativo en caso contrario (contracción).

Otro constituyente de la primera ley de la termodinámica es la energía interna de un sistema. La energía interna de un sistema depende, en general, de la presión y de la temperatura absoluta.  A ella contribuyen usualmente la energías cinéticas de traslación, de rotación y de traslación de las moléculas, y las energías potenciales que haya (gravitatorias, elásticas, químicas, etc.).  Así, en el caso de partículas con carga eléctrica se debe considerar también la energía potencial eléctrica.  Incluso muchas moléculas que son neutras pueden mostrar interacciones electrostáticas, las que tienen un potencial eléctrico asociado (por ejemplo, interacciones tipo Van der Waals, debido a deformaciones de la distribución de carga).

Un caso especial es el de los gases ideales.  Dado que el modelo de gases ideales supone partículas puntuales (sin estructura interna), ellas no pueden tener ni energía cinética de rotación ni de vibración, ni tampoco energías potenciales de fuerzas tipo Van der Waals, dado que no pueden deformarse.  De acuerdo con ésto, sólo la energía cinética de traslación contribuye a la energía interna de estos fluidos, por lo que esa energía interna depende sólo de la temperatura (según se vio dos capítulos más atrás, la energía cinética de traslación de un gas ideal es proporcional a su temperatura absoluta).  Dado que en ese caso la energía cinética de traslación de una molécula es 3k_BkT/2, se tiene que para el caso de N moléculas la anergía interna U es

La primera ley de la termodinámica establece que las variaciones de energía interna de un sistema es la diferencia entre el calor entregado o tomado al sistema y el trabajo que él realiza:

Las cantidades Q y W se consideran positivas cuando se entrega calor al sistema y cuando el sistema es quien realiza trabajo, respectivamente.

Nótese de la ecuación anterior que calor y trabajo son puestos en un mismo pie, y ambos son medidos usando la misma magnitud, el Joule. Esta ecuación puede verse como una "extensión" de la conservación de la energía mecánica total, propia de la mecánica, a la termodinámica, es decir, a procesos que involucran flujos de calor. Las partes "mecánicas" de la energía (la cinética y las potenciales) aparecen en el lado izquierdo.

Dos casos particulares importantes de transformaciones termodinámicas son los siguientes:

(a) Procesos isotérmicos, en que la temperatura se mantiene constante.  Dado que en el caso de un gas ideal la energía interna depende sólo de la temperatura, durante procesos isotérmicos de un gas ideal se cumple que Q = W.

(b) Procesos adiabáticos, que son aquellos en que no hay intercambio de calor entre el sistema y el medio externo.  En ese caso se tiene que U_f - U_i = -W.  Esta condición puede darse ya sea porque el sistema está efectivamente aislado como porque el proceso ocurre tan rápidamente que no hay tiempo para un intercambio de calor.

Por otra parte, en la siguiente tabla se introduce los conceptos de sistemas aislados, cerrados y abiertos:

Sistema aislado:	En este caso no existe intercambio de materia ni de energía con el entorno (ambas cantidades permanecen constantes en el sistema)
Sistema cerrado:	Hay intercambio de energía, pero la materia permanece constante en el sistema
Sistema abierto:	El sistema intercambia tanto materia como energía con su entorno

Ejercicios sugeridos

01. Un gas realiza trabajo en un proceso isobárico a la presión de 1000 hPa. ¿Cuánto trabajo realiza el gas si (a) V_i=0,01 m³ y V_f=2,24x10^-2 m³; (b) V_i=2x10^-2 m³ y V_f=0,5x10^-2 m³.

[Respuesta: (a) 1,24x10³ J. (b) -1,5x10³ J.]

02. Un cuerpo pasa por el siguiente proceso: Desde (P₂,V₁) es llevado a isobáricamente a (P₂,V₂), y luego llevado manteniendo el volumen constante a (P₁,V₂). En ese proceso el aumento de energía interna de la sustancia es 3x10⁵ J. ¿Cuánto calor absorbe el sistema? Use los valores P₁ = 1 atm, P₂= 3 atm, V₁= 0,03 m³ y V₂= 0,10 m³.

[Respuesta: 3,2x10⁵ J]

03. Un calentador eléctrico proporciona calor a un gas a una tasa de 100 W. Si el gas que se expande realiza 75 J de trabajo en cada segundo, ¿a qué tasa aumenta la energía interna? Si el gas está a una presión constante de 1 atm, ¿cuánto se expande en 10 s?

[Respuesta: 25 J/s; 7,5 litros]