Trabajo mecánico y energía Energía cinética y teorema del trabajo y la energía Energía potencial fravitacional y elástica Potencia Ejercicios sugeridos para este capítulo

Trabajo mecánico y energía

Existe un camino alternativo para relacionar causas (fuerzas) y posiciones, en el cual no se necesita pasar por las aceleraciones. Este camino alternativo tiene además la ventaja que no se trabaja con cantidades vectoriales (tales como las fuerzas y la aceleración), sino sólo con cantidades escalares, aun en el caso de problemas de más de una dimensión. Ambas cosas (no ocupar las fuerzas, y que el tratamiento no requiera ser vectorial) hace que este método sea en general muy sencillo de usar. Este camino es utilizando los conceptos de trabajo y energía.

El trabajo realizado por una fuerza constante sobre una partícula está definido como

(1)

donde F es la fuerza aplicada, d es la distancia que recorre la partícula mientras se ejerce la fuerza, y es el ángulo entre la dirección del movimiento y la dirección de la fuerza F.

Si son varias las fuerzas aplicadas, el trabajo total realizado sobre un cuerpo puede calcularse de dos maneras: o como la suma de los trabajos de cada fuerza. o como el trabajo de la fuerza resultante.

De la definición (1) se observa que si el ángulo entre la dirección del movimiento y la de la fuerza es 90°, no se realiza trabajo sobre el cuerpo, independientemente de la intensidad de la fuerza o de la distancia recorrida. Así, por ejemplo, fuerzas centrípetas no realizan trabajo, porque son perpendiculares al movimiento. Lo mismo ocurre usualmente con fuerzas normales. Otro caso es el la fuerza de Coriolis, la que nunca realiza trabajo porque siempre es perpendicular al desplazamiento (más estrictamente, la velocidad del objeto que se mueve).

La unidad de medida MKS de trabajo es, como se observa de la definición, el producto Newton metro. Esta combinación de unidades es llamada Joule, abreviado J. Por lo tanto, 1 (J) = 1 (N m). En el sistema cgs se llama erg a la combinación dina cm, por lo que 1 (erg) = 1 (dina cm).

En el caso de una fuerza variable, no se puede aplicar simplemente la ecuación (1). Si la fuerza depende de la distancia d recorrida, como es el caso de un resorte, por ejemplo, que a mayor elongación mayor fuerza, se debe calcular el trabajo W que realiza cada pequeño desplazamiento x , y luego sumar cada una de estas contribuciones

(2)

Una forma sencilla de realizar esta suma (en el fondo, una integración) es calculando el “área bajo la curva” en un gráfico F-x, aplicando el mismo método que se usa para calcular distancias recorridas a partir de gráficos v-t.

Un caso en que este cálculo es sencillo es cuando la fuerza aplicada es directamente proporcional a la distancia que recorre el objeto, o sea cuando se tiene fuerzas del tipo

(3)

Este es el caso, por ejemplo, de la fuerza que hace un resorte cuando es estirado (“elongado”, se dice en física) una distancia x. El signo menos en la ecuación indica que cuando el resorte es elongado o comprimido en una dirección, él responde con una fuerza en la dirección contraria, o sea, se opone a que lo estiren o lo compriman. Por lo tanto, (3) es la fuerza que el resorte hace, no la que se aplica sobre él, la que llevaría signo contrario (positivo). La constante k es específica a cada resorte.

Si se combina las expresiones (2) y (3) para calcular mediante el área bajo la curva el trabajo realizado por un resorte, se llega a la expresión

(4)

Energía cinética y teorema del trabajo y la energía

Consideremos un caso en que puede utilizar el modelo del movimiento uniformemente acelerado. En ese caso se tiene que a=(v-vi)/t . Dado que x = v_it + ½a(t)² = v_it + ½[(v-v_i)/t](t)²= ½ (v+v_i)t. Por lo tanto,

Como muestra esta ecuación, la combinación de variables ½ mv² parece tener un significado dinámico especial. Por esta razón se le da un nombre particular, el de energía cinética, E_c. Con esta definición, entonces, se llega a

(5)

Esta ecuación constituye el teorema del trabajo y la energía:

Algunos comentarios sobre la energía cinética:

1. Como se observa en la ecuación (5), la energía cinética se mide en las mismas unidades que el trabajo, o sea, en Joules.
2. Nótese que si la rapidez de la partícula permanece constante, o sea si a = 0, entonces v = 0, por lo que se tiene que E_c = 0, y, finalmente, W = 0.
3. El teorema del trabajo y la energía significa que la energía cinética de un cuerpo en movimiento es igual al trabajo que él puede hacer hasta que llegue el reposo.

 

Energía potencial gravitacional y elástica

Se mostrará a continuación que se puede definir otras combinaciones de variables dinámicas y cinemáticas que permiten calcular el trabajo realizado por o sobre un cuerpo en ciertas situaciones especiales. Dado que estas combinaciones tienen la misma unidad de medida del trabajo, y pueden ser relacionadas al trabajo en forma similar a como lo hace la energía cinética también son reconocidas como formas de energía.

Para proceder con la primera de ellas, conviene distinguir la fuerza gravitatoria que sienten los cuerpos de las restantes fuerzas. Para ello, a todas las fuerzas distintas del peso se las llamará “fuerzas aplicadas”.

Aplicando la definición de trabajo al caso de un objeto que es arrojado verticalmente hacia arriba, se tiene que cuando éste pasa de una altura hi a una altura h el trabajo realizado por la fuerza peso (=-mg) durante la distancia h-h_i es W(grav)=-mg(h-h_i). El término del lado derecho se puede separar en dos partes, en la forma W(grav)=-mgh+mgh_i.

Al igual que en el caso de la energía cinética, se observa que la combinación mgh tiene un significado dinámico especial, en el sentido que su diferencia permite obtener el trabajo realizado por la fuerza peso (o gravitacional). Por esta razón, a esta combinación se le conoce como energía potencial gravitatoria, U. En este caso, U=U-U_i es positiva y W(grav)=-U.

U = mgh

(6)

Si consideramos un caso en la que fuerza gravitacional (o peso) es la única fuerza presente, o sea si las fuerzas aplicadas son cero, el teorema del trabajo y la energía lleva a que E_c=E_ci+W(grav)= E_ci -(U-U_i). Entonces

(7)

A la combinación E=E_c+U se le llama energía mecánica total.

En el caso que existan fuerzas aplicadas, el teorema del trabajo y la energía queda

(8)

donde E es la energía mecánica total, E_i la energía mecánica total inicial, y W_a el trabajo de las fuerzas aplicadas.

En el caso que existan fuerzas elásticas, como el caso de resortes, en que las fuerzas sean representables por la expresión (3), conviene definir una energía potencial elástica U_k dada por

(9)

donde x es la elongación (o sea la diferencia entre el resorte estirado y en reposo). En ese caso, la energía mecánica total E debe calcularse como E=E_c+U+U_k, y se aplica el teorema del trabajo y la energía definido en (8) sin considerar el trabajo de la fuerza elástica cuando al calcular W_a, puesto que esa contribución ya es considerada en la energía mecánica total.

Valores aproximados de la energía asociada con diversos procesos

Nota:  Tabla tomada del libro “Física”, de Kane y Sternheim, Editorial Reverté S. A. (2a Edición), 1989.
 

La energía mecánica final es igual a la energía mecánica inicial más el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas.

Fuerzas conservativas:  Las fuerzas que tienen la propiedad que el trabajo realizado por ellas no dependen de la trayectoria utilizada se llaman fuerzas conservativas.  Fuerzas conservativas son, por ejemplo, las fuerzas gravitatorias, las eléctricas, y las elásticas.  El roce es un ejemplo de una fuerza no conservativa.  Los efectos de cualquier fuerza conservativa peden describirse siempre mediante una energía potencial.

Unidades de medida. Un comentario adicional sobre las unidades de la energía y el trabajo: En física se usa habitualmente el Joule, que es la unidad en el sistema MKS (metros, kilos, segundos). A veces aparece en biología la energía medida en "ergs", sobre todo cuando las energías son pequeñas (la energía cinética de una pulga saltando, o de una mosca volando, por ejemplo). Cada Joule equivale a diez millones de ergs (1 J = 10⁷ ergs). Por otra parte, es frecuente en química y en biología usar una unidad de energía llamada "caloría". Una caloría equivale a 4,186 Joules (1 cal = 4,186 J). El problema es que a veces (cada vez menos frecuentemente) se usa la palabra "caloría" para designar a 4186 Joules, mil veces más que en el sentido usual de caloría. Eso era frecuente en dietas alimenticias, por ejemplo. Afortunadamente esa costumbre se ha ido perdiendo. Incluso es frecuente ahora que las dietas alimenticias se especifiquen en "Kilocalorías", de modo de ser coeherente con el uso en física. Por supuesto 1 Kcal sí que equivale a 4186 J. Por ejemplo, el gasto energético de las personas adultas varía entre unas 2200 y unas 3000 Kcal/día. En Joules estos números resultan más grandes, y por lo mismo menos cómodos de recordar: de unos 9,2 a 12,6 millones de Joule/dia.

 

Potencia

Definición de potencia:  La potencia es la rapidez con que se realiza trabajo.

Dado que el trabajo se puede expresar como W=Fdcos(), la expresión de arriba se puede transformar en P=W/t=[Fdcos()] / t.  Si la fuerza F es constante esto se transforma en

La unidad MKS de medida de la potencia, correspondiente a 1 Joule/s, se denomina Watt.

El  Watt es una unidad bastante pequeña. Un metro cuadrado de superficie en Concepción recibe unos 270 Watt como radiación solar en verano y unos 70 Watt en invierno. El calor que cada uno de nosotros emite en forma de radiación electromagnética es del orden de unos 100 Watt. Se necesita cerca de 9 kW para superar las fuerzas disipativas sobre un auto de 2 Ton que se mueve a unos 65 km/h.  Una central eléctrica mediana puede generar 200  MW; una grande, alrededor de 1 GW (ver lectura adicional “Comentario sobre centrales hidroeléctricas en Chile”).

En muchas aplicaciones, sobre todo de la ingeniería, aun se usa la unidad "horse power" (HP) para la potencia. 1 HP es igual a 745 W. Se supone que es más o menos la potencia desarrollada por un caballo. Hay un artículo muy interesante sobre este punto en Nature 405, 125, 2000. En él se establece que un caballo grande puede tirar hasta 3 HP durante breves instantes, y bastante más de 1 HP en forma permanente. En el artículo se discute la importancia que tuvo la tracción animal para el desarrollo de la civilización, sobre todo por su efecto en la agricultura. Aunque un caballo grande de tiro necesita la comida, en granos, de 6 hombres, puede hacer el trabajo de al menos 10. Hacia 1890 en el oeste de Estados Unidos se usaba equipos de hasta 30 caballos para tirar multi-arados, lo que impulsó enormemente la agricultura (pronto Chile ya no pudo venderles más trigo). La introducción del tractor mecánico terminó con la era de los caballos de tiro: tiraba más y no generaba gastos cuando no trabajaba.

 

Ejercicios sugeridos para este capítulo

01. ¿Cuál es la rapidez típica que lleva un niño que se está columpiando al pasar por el punto más bajo de la trayectoria del columpio (la parte más cercana al suelo)? [Resp: Depende de largo del columpio, pero es del orden de unos 5 m/s.]

02. La energía solar directa incide sobre una superficie horizontal a cierta latitud con una tasa media de 200 W/m². Por otra parte, una familia típica de clase alta de 4 personas consume en su hogar una potencia total del orden de 8 kW. (a) Si el 20% de la energía solar se pudiera aprovechar y utilizar, ¿qué área se necesitaría para suministrar los 8 kW? (b) Compare esta área con la superficie del techo de una casa unifamiliar típica. [Resp: (a) 200 metros cuadrados; (b) Estímela Ud.]

03. Suponga que cierto río desciende 18 m al pasar por algunos rápidos, y que la rapidez del agua es 3,5 m/s al entrar a los rápidos y 15 m/s al salir de ellos. (a) ¿Qué porcentaje de energía potencial perdida por 10 kg de agua al atravesar los rápidos aparece como energía cinética del agua que va saliendo de los rápidos? (b) ¿Depende la respuesta anterior de la masa de agua considerada? (c) ¿Qué sucede con el resto de la energía? (d) Calcule ese resto. [Resp: (a) 59,1%. (b) No. (c) ¿Qué sucede? (d) 763,25 J]

04. Una alumna del curso FIS 513135 decide, luego de ver el resultado de su primer certamen, ascender (caminando) el Nevados de Chillán. (a) ¿Cuánto trabajo realiza contra la fuerza de gravedad? (b) Un kilo de grasa suministra unos 3,8x10⁷ J de energía. Si convierte grasa en energía con un rendimiento del 20%, ¿cuánta grasa consumirá en la ascensión? (c) A esa tasa de conversión grasa/energía, ¿a qué altura tendría que subir para bajar 10 kg? (d) ¿Quién tiene ganas de intentarlo? (Si alguien desea hacerlo, diríjase al Prof. A. Foppiano, consumado recorredor de montañas regionales). (Advertencia: En este ejemplo supusimos que el único trabajo que hace la alumna es contra la fuerza de gravedad, lo que ignora el efecto del roce, por ejemplo. Más adelante en el curso se verá este mismo ejemplo, de un modo mas realista.) (Otra advertencia: Esto muestra que, si se desea bajar de peso, es más eficiente comer menos que hacer mucho ejercicio). [Resp: (a) Unos 1,8x10⁶ J. (b) 240 g. (c) unos 130 km! ]

05. Un salmón de 4,5 N nada una distancia de 5 m a rapidez constante remontando un paso piscícola terrícola. La fuerza disipativa debida al agua vale 1,3 N. El pez sube 0,5 m al remontar el paso. (a) ¿Cuánto trabajo debe realizar el pez para contrarrestar la fuerza disipativa? (b) ¿Cuál es el cambio de energía potencial (gravitatoria) del pez? (c) ¿Cuál es el trabajo total que efectúa el pez al remontar el paso? (d) ¿Cuál es la mejor receta para cocinar salmón?. [Resp: (a) +6,5 J. (b) +2,25 J. (c) 8,75 J. (d) Ver, por ejemplo, la página http://www.riverdale.k12.or.us/salmon.htm que está "dedicated to all things about salmon: How to catch them, cook them, buy them and save them... ". Nótese que la página fue creada por una escuela secundaria.]

06. Un proyectil cuya masa es 9,4 kg es disparado verticalmente hacia arriba. En su vuelo hacia arriba, el proyectil disipa 68 kJ debido a la resistencia del aire. ¿Cuánto más alto podría subir si se pudiera eliminar la resistencia del aire (haciendo el proyectil más aerodinámico, por ejemplo)? [Resp: 723 m]

07. Potencial hidroeléctrico máximo de Chile: Usted debe saber cuál es el área continental de Chile (es decir, sin tomar en cuenta las islas ni la zona Antártica). Estime la altura promedio de esta área continental, en metros. Estime ahora cuánto puede ser el promedio anual de precipitación en Chile, en mm o cm (como dato: en Concepción es aproximadamente unos 1200 mm/año). Se puede suponer que dos tercios de esta agua de lluvia vuelve a la atmósfera por evaporación, mientras que el resto fluye hacia el océano. (a) Si toda esta agua pudiera ser empleada en generar electricidad en plantas hidroeléctricas, ¿qué potencia promedio (anual) podría ser producida? (compare con los valores mencionados en la Lectura Adicional "Centrales hidroeléctricas en Chile", en este mismo capítulo). (b) ¿Y cuánto dinero podría recibir la CGEI si pudiera vender esa energía al precio de 60 $/KWh? [Resp: (a) La respuesta depende de los valores numéricos supuestos para las cantidades geográficas, pero debiera ser de al menos 25 mil MW, o sea al menos una 50 "centrales Ralco". (b) Son tantos millones de dólares que no me atrevo a escribirlo... ¡mejor me dedico a generar electricidad! (Con razón hay "ciertas" presiones para construir centrales).]

08. Las rapideces de crucero de peces de 0,3 m de largo son cercanas a 0,35 m/s. La potencia media consumida es de unos 4,5 W por kilo de masa de su cuerpo. Suponga que la masa de cierto pez es de 0,4 kg. (a) ¿Cuál es la potencia media consumida por el pez en su natación de crucero? (b) ¿Cuál es la fuerza media ejercida por el pez sobre el agua? (c) ¿Cuánto trabajo realiza el pez en 10 minutos? [Resp: (a) 1,8 W. (b) 5,14 N. (c) 1080 J.]

09. La energía solar incide sobre la superficie terrestre con una tasa de 350 W/m², donde se ha promediado la latitud, las horas del día y las estaciones del año. Esta energía se recibe independientemente de las condiciones meteoroilógicas. Un 2% de esta energía se convierte en energía eólica. (a) Hallar la razón entre la potencia eólica generada por el Sol sobre el globo terráqueo a la potencia total consumida por los humanos (este último dato lo puede obtener a partir de la información entregada en la tabla adjunta). (b) Se ha sugerido que podría aprovecharse como máximo un 3% de la potencia eólica para actividades humanas. ¿Podría resultar suficiente para abastecer nuestras necesidades globales de energía? [Resp: Unas 380 veces!!. (b) Alcanzaría más de 10 veces!]

10. Si un salmón encuentra una cascada al remontar un río, intentará ascender la cascada mediante una de las dos maneras siguientes. Si puede nadar bastante rápido, remontará directamente la cascada. Si no puede nadar lo suficientemente rápido, saltará desde la base de la cascada hasta una altura donde la rapidez del agua sea lo bastante baja como para poder ser remontada. Suponga que el salmón puede alcanzar una rapidez máxima de 5 m/s en agua estancada, y que el agua en el punto superior de la cascada y en la base de la misma está en reposo (¡modelo!). (a) ¿Cuál es la máxima altura de una cascada que el salmón puede remontar nadando sin saltar? (b) Si la cascada tiene 1 m de altura, ¿cuál es la rapidez del pez con respecto a la base cuando empieza a nadar hacia arriba en la parte inferior del chorro de la cascada? (c) Si la cascada tiene 2 m de altura, ¿cuál es la mínima altura del chorro a la que el pez deberá saltar para poder remontar nadando el resto del camino? (d) Para poder saltar la distancia necesaria en la parte (c), ¿cuál ha de ser la velocidad inicial del pez cuando sale del agua? [Resp: (a) 1,25 m; (b) 0,53 m/s; (c) 0,75 m; (d) 3,87 m/s.]

11. En cierto río el salmón del problema anterior encuentra una cascada de 6 m de altura. Para facilitar el ascenso del salmón se construye un paso para peces, que consiste en una serie de chorros en pendientes que comunican con estanques escalonados donde la rapidez del agua es prácticamente nula. Si a cada estanque con su correspondiente chorro inclinado lo llamamos un escalón, ¿cuál es el número mínimo de escalones necesario para permitir que el salmón ascienda la cascada sin tener que saltar? [Resp: 5.]

12. Las grandes centrales eléctricas de combustibles fósiles o nucleares operan de forma más económica cuando funcionan las 24 horas del día. El exceso de energía eléctrica puede ser "almacenado" y recuperado bombeando agua a un depósito en la cumbre de una montaña y dejándola caer a través de las turbinas en los momentos de máxima demanda. En una de tales instalaciones, el agua cae una distancia media de 250 m. Cierto depósito tiene un área superficial media de 1,3 km² y una profundidad media de 10 m. [¿Puede alguien conseguir estos datos para alguna central hidroeléctrica chilena?] (a) ¿De cuánta energía se dispone cada vez que se vacía el depósito? (b) Si se vacía en un tiempo de 10 horas y el 80% de su energía se transforma en energía eléctrica, ¿cuál es la potencia generada? (c) ¿Cuántas casas unifamiliares puede alimentarse con esta energía adicional? [Resp: (a) 325x10⁸J. (b) 7,22x10⁵ W. (c) Unas 3600.]

13. Para que un auto de unos 2 mil kg pueda mantenerse a una rapidez constante de 65 km/h en terreno plano debe realizarse trabajo contra las fuerzas disipativas a una tasa aproximada de 9 kW. (a) ¿Cuánto valen las fuerzas disipativas? (b) El rendimiento de un motor de gasolina es de tan sólo un 20%, parte de la potencia se pierde en la transmisión y en los engranajes, y se necesita cierta potencia adicional para hacer funcionar las luces, el generador, la bomba de agua y otros accesorios. En consecuencia, tan sólo un 12,5% de la energía obtenida al quemar gasolina se utiliza de hecho para mantener el coche en marcha. ¿Qué distancia puede recorrer el auto a esta rapidez utilizando un litro de bencina? (El contenido de energía de 1 litro de gasolina aparece en la tabla en este mismo capítulo). [Resp: (a) 9 kW; (b) 7530 m].