Transporte de calor por radiación Leyes de la radiación Radiación solar Penetración de la luz en el agua Ejercicios sugeridos

Transporte de calor por radiación

La ley de Stefan relaciona flujo de calor por radiación y la temperatura del cuerpo que emite esa radiación en la siguiente forma

donde e es la emisividad, la que depende de la superficie, que asume valores entre 0 y 1, y es la constante de Stefan, de valor  5,67x10^-8  W/m²/K⁴.

Nótese que en la última relación aparece sólo la temperatura (en K) del objeto en estudio, y no un gradiente de temperaturas, como sucede en los casos de transmisión de calor por conducción y por convección ya analizados.

Para un cuerpo no aislado, dado que el cuerpo emite radiación, pero también absorbe la del ambiente, se tiene

donde T_amb es la temperatura del ambiente.

Leyes de la radiación

Las fuentes de energía que mueven todo sobre la Tierra son dos: el Sol (fuente externa) y el decaimiento de material radiactivo en el interior de la Tierra (fuente interna). El único efecto de la segunda fuente en el contexto de este curso es calentar levemente el fondo de los océanos profundos, pero no produce efectos apreciables sobre el movimiento de los océanos.

La energía que se recibe del Sol se recibe en forma de radiación. Es por lo tanto necesario comprender algunos principios acerca de este tipo de propagación de energía.

La radiación electromagnética es calsificada en "bandas", de acuerdo a su longitud de onda. En el siguiente diagrama se muestra las "bandas" con sus respectivos rangos de longitud de onda. Como se observa, a medida que pasamos de longitudes de onda muy cortas hacia aquellas muy largas, se pasa de rados gamma, rayos X, rayos ultarvioleta, luz visible, radiación infrarroja, microondas y ondas de radio. De particular interés es la banda de luz visible, la que se encuentra entre unos 380 y 760 nm.

Todo cuerpo (¡salvo alguno que estuviera a 0 K!) emite radiación electromagnética en todas las longitudes de onda. Nosotros mismos, por lo tanto, estamos en todo momento emitiendo ¡desde rayos gamma a ondas de radio, incluyendo rayos X, radiación ultravioleta, etc.!

Un cuerpo no emite la misma cantidad de radiación electromagnética en cada banda. En realidad, siempre existe un rango de longitudes de onda en que emite la mayor parte de la radiación. La ley de Planck especifica cuánta radiación electromagnética emite un cuerpo en cada intervalo de longitud de onda. La energía emitida en forma de radiación por unidad de tiempo, por unidad de área, y por "unidad" de rango de longitud de onda , está dada por la expresión

 

(1)

donde C₁ y C₂ son ciertas constantes, es la longitud de onda, y T es la temperatura en grados Kelvin (temperatura absoluta). Esta es la famosa distribución de Planck.

Se observa que la cantidad de energía (en el fondo, de la potencia, dado que es energía por unidad de tiempo) depende críticamente de dos parámetros, es decir, de la longitud de onda y de la temperatura del cuerpo. Las constantes que aparecen en la ecuación de arriba son combinaciones de importantes constantes de la física: C₁=2hc², y C₂=ch/k, donde h (=6,63x10^-34 J s) es la constante de Planck, k_B (=1,38x10^-23 J/K) es la constante de Boltzmann, y c (=3x10⁸ m/s) es la velocidad de la luz en el vacío.

El siguiente gráfico muestra lo sensiblemente que depende la emisión electromagnética de la temperatura. Se muestra la curva de Planck para las temperaturas 2000, 3000 y 4000 K. La longitud de onda está en metros, y la energía irradiada está en unidades arbitrarias.

Del gráfico se observa que:

(a) La cantidad total de energía emitida, considerando todas las longitudes de onda (el área bajo la curva), crece muy rápidamente a medida que la temperatura aumenta. De hecho, la suma de toda esa energía es una función muy sencilla de la temperatura, conocida como la ley de Stefan-Boltzmann, que es

(2)

donde (= 5,67x10^-8 W/m²/K⁴) es la constante de Stefan-Boltzmann, y e es la emisividad, la que depende de la superficie, y asume valores entre 0 y 1. S es la energía total emitida por segundo y por metro cuadrado. Por lo tanto, la energía total emitida por radiación, por unidad de tiempo, es

(b) La longitud de onda a la cual el cuerpo emite mayor cantidad de radiación varía con su temperatura, como se observa para el caso del gráfico mostrado arriba. La ley de corrimiento de Wien dice que

(3)

donde A es una constante que vale 2897,8 m K. Como un ejemplo, se puede calcular fácilmente de (3) que agua a 20ºC emite mayormente en la longitud de onda de unos 9,9 m.

Radiación solar

El Sol es un cuerpo que emite con un espectro asociable a su temperatura superficial, de alrededor de 5900 K. Por lo tanto, la longitud de onda de máxima radiación se encuentra alrededor de los 491 nm.

Utilizando la relación (2) es posible estimar cuánta energía solar debe llegar a la Tierra, o más precisamente a la parte superior de la atmósfera. Dado que la energía radiada decae con el cuadrado de la distancia a la fuente, a una unidad astronómica del Sol la energía que debiera llegar es S_T=T⁴(R_S/R_TS)², igual a 1,487 kW/m² (R_S = 6.,960x108 m es el radio del Sol, y R_ST = 1,496x1011 m es la distancia Tierra-Sol). Mediciones cuidadosas realizadas encima de la atmósfera indican, sin embargo, que el valor correcto para la radiación solar que arriba a la parte superior de la atmósfera es de S_T=1,376 kW/m². A este valor se le denomina "constante solar". Este valor tiene variaciones intraanuales de ±3,2% debido a la elipticidad de la órbita terrestre.

La Tierra ofrece al Sol un área efectiva correspondiente a un disco, por lo que la energía total recibida por ella está dada por R_T²S_T. Una fracción de ella, llamada "albedo" (), es reflejada hacia el espacio, principalmente por las nubes, la nieve, el hielo y la superficie del desierto. Si se considera la Tierra completa, el albedo promedio, <>, es de un 30%, o sea, 0,3.

Al girar la Tierra, la energía que ella recibe se distribuye sobre toda su superficie 4R_T² (no solamente sobre el área del disco visto por el Sol, R_T²). Por lo tanto, el flujo de energía solar absorbido en promedio, por unidad de área, es

que equivale a 240,8 W/m². Esta es la energía disponible para mover todos los procesos sobre la Tierra.

A largo plazo se debe tener un equilibrio entre la energía que incide sobre la Tierra y la que la abandona, puesto que ella no se recalienta. Esto implica que la energía recibida (240,8 W/m²) debe ser re-emitida al espacio. Esto implica que debe cumplirse el equilibrio energía total emitida por le Tierra igual a la recibida:

Calculando T_T de esta relación se obtiene el valor teórico de 260 K (equivalente a -13ºC). ¡Esto implica que la Tierra debería estar permanentemente congelada! La reabsorción por la atmósfera de la energía infrarroja emitida por la Tierra (el efecto invernadero) hace que el valor de T_T suba considerablemente, llevándolo por sobre el punto de congelación del agua. De ahí el valor observado para el promedio de la temperatura sobre el planeta, que es de 288 K (unos 15ºC).

La radiación electromagnética que alcanza a la superficie de la Tierra es bastante diferente a la que abandona el Sol, y esta última también es diferente de la de un cuerpo ideal a 6000 K.

La digura siguiente muestra cómo es el espectro de energía que llega a la parte superior de la atmósfera, y la que alcanza el suelo.

So observa que parte de la radiación que abandona el Sol ya ha sido absorbida en las capas externas del mismo Sol. Por otra parte, el ozono, el vapor de agua, los aerosoles en suspensión y ciertos tipos de moléculas absorben radiación solar en ciertas longitudes de onda, por lo que, como se obsera en el gráfico, sólo una fracción de ella alcanza el suelo.

Penetración de la radiación en el agua

Sólo algunas bandas de radiación solar llegan al suelo. El agua, a su vez, permite la penetración de ciertas longitudes de onda. El siguiente diagrama muestra cuáles son esas bandas, para el caso del agua pura.

Se observa que, en agua pura, longitudes de onda "largas" en el espectro visible (colores rojizos) son rápidamente absorbidos. Esto significa que los colores rojizos no se ven ya a algunos metros de profundidad en agua pura. (¿Qué implicancia debería tener esto para el color de los peces? ¿De qué color los peces serían menos visibles para sus predadores o sus presas?). El color que más penetra en agua pura es el de 462 nm de longitud de onda, que corresponde a un tipo de azul. Del gráfico se observa también que la energía total, tomando en cuenta todas las longitudes de onda, decrece muy rápidamente con la profundidad, como muestra la tabla siguiente (tomada de Tomkzack):

El siguiente diagrama muestra la penetración de luz en el agua pura, para distintas longitudes de onda. Se observa que, de todas las longitudes de onda mostradas, la radiación que alcanza profundidades más altas es la de 475 nm, que es, de todas las curvas mostradas en el diagrama, aquella que más se acerca a 462 nm.

Ejercicios sugeridos

01. Una carretera de superficie ennegrecida a una temperatura de 320 K recibe energía radiante del Sol a una tasa de 700 W/m². ¿Cuál es la tasa a la que absorbe energía térmica un metro cuadrado de superficie de carretera?

02. La superficie del Sol se halla aproximadamente a 6000 K. (a) ¿Qué potencia irradia por metro cuadrado de superficie? (b) ¿Qué potencia llega a la parte superior de la atmósfera terrestre por metro cuadrado? (El diámetro del Sol es 1,39x10⁶ km y el radio medio de la órbita de la Tierra es 1,49x10⁸ km).

03. En el caso de incidencia vertical de radiación electromagnética en agua, los porcentajes de energía (potencia por metro cuadrado, en realidad) que alcanzan diferentes profundidades, considerando todas las longitudes de onda, están indicadas en la tabla de la sección anterior a profundidades 0, 0,01, 1, 10, 100, y 200 m.

(a) Ajuste la mejor ecuación que pueda para estos valores, pensando en que ellos debieran satisfacer la relación de Beer-Bouger-Lambert.

(b) El flujo de energía mínimo para mantener la fotosíntesis es 0,02 W/m². Usando la ecuación que usted obtuvo en la primera parte de este problema, estime hasta qué profundidades puede haber fotosíntesis tanto en el caso de un día de mucha radiación, en que lleguen 350 W/m² a la superficie del mar.

(c) En el artículo "Física de las aguas costeras de la zona central de Chile", Tralka (Chile), 2, 337-354, 1985, Tomás Fonseca muestra la variación anual de la radiación solar en Valparaíso. Una representación muy preliminar de esa variación está dada por la expresión

en que t es el número del mes del año (entre 1 y 12). El resultado está en W/m². Discuta cómo varía durante el año la profundidad hasta la cual podría existir fotosíntesis frente a Valparaíso.

04. ¿En qué entorno de longitudes de onda debería funcionar un sensor especialmente diseñado para medir temperaturas del océano en la zona subantártica?

05. El gráfico adjunto muestra la atenuación de la energía radiativa con la profundidad en el océano.

(a) Calcule a qué profundidad la luz correspondiente a 400 nm se ha reducido a un 15%.

(b) Escriba la ecuación que describe la atenuación con la profundidad de la luz de 375 nm.

06. Compare las energías perdidas en forma de radiación electromagnética por la Bahía de Concepción en un día de verano y en un día de invierno (ver diagrama geográfico en parte inferior de la hoja).