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Sobre fuerzas... |
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Sobre fuerzas... |
Leyes de Newton y Fuerzas |
 | Sobre fuerzas... |
En esta etapa del estudio de las fuerzas se usará la idea intuitiva que de ellas se tiene en la vida diaria, es decir, que ellas representan un empujón, o un tirón. Más adelante se verá una definición más formal.
Hasta ahora se ha encontrado en la naturaleza sólo cuatro "tipos" de fuerzas, por lo que cualquiera otra debiera reducirse a alguna de estas o a una combinación de ellas. Esas fuerzas "fundamentales" son la fuerza electromagnética, la fuerza gravitacional, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil. La fuerza electromagnética es la responsable de la atracción y repulsión entre cuerpos cargados eléctricamente (¡esta definición es otro círculo vicioso!), y será motivo de estudio en el segundo curso de física. La fuerza gravitacional es la que produce atracción entre objetos, y será breve y elementalmente estudiada en este mismo curso, más adelante. No se estudiará en este curso la fuerza nuclear débil y ni la fuerza nuclear fuerte.
Hay algunos hechos que sugieren que la intensidad de estas cuatro fuerzas fundamentales no ha variado desde la creación del universo, hace unos 15 mil millones de años atrás. Una muy breve y hermosa discusión de este punto se presenta en una entrevista de Dominique Simonnet a Hubert Reeves, que es parte del libro "La más bella historia del mundo", de H. Reeves, J. de Rosnay, Y. Coppens y D. Simonnet, Editorial Andrés Bello, Santiago, 1997. En clases se entregará a los alumnos una copia de la parte pertinente de esa entrevista. La misma porción también ha sido transcrita en este texto.
En la práctica, todas las fuerzas que uno "siente" en su vida diaria son de tipo electromagnético, con la notable excepción de la atracción gravitacional de la Tierra (la fuerza "peso"). Incluso fuerzas que tienen aparentemente otro origen, como las de fricción o las que aparecen en choques de vehículos, o las químicas, etc., son en el fondo de origen electromagnético.
En cuanto a la forma como actúan las fuerzas fundamentales, todas ellas actúan "a distancia", es decir, sin real contacto entre los cuerpos, aunque las distancias a las cuales las fuerzas pueden ser muy diferentes (extremadamente largas en las gravitacionales, y extremadamente cortas en las nucleares, por ejemplo). Sin embargo, en la vida diaria aparentemente algunas de ellas operan "por contacto", es decir, cuando los cuerpos se tocan. Es el caso, por ejemplo, de las fuerzas electromagnéticas que llevan al reposo a dos autos que chocan de frente. Debe tenerse presente, sin embargo, que esta acción de las fuerzas "por contacto" es sólo un modelo para representar fuerzas que operan en distancias muy pequeñas, y que realmente nunca los átomos de un auto, por ejemplo, chocan con los del otro.
La fuerza gravitatoria entre un electrón y un núcleo atómico es unas 1036 veces más pequeña que la electromagnética. Por esta causa no produce ningún efecto observable en la estructura atómica o nuclear. Sin embargo, mientras (hasta donde sabemos) la fuerza gravitatoria es siempre de atracción, la electromagnética puede ser o de atracción o de repulsión. Por eso, aunque sean pequeñas, las fuerzas gravitacionales entre el gran número de partículas de cuerpos grandes (la Tierra y la Luna, por ejemplo) resultan en una gran fuerza efectiva. Por el contrario, aunque las fuerzas eléctricas entre las partículas de la Tierra y de la Luna son mucho más intensas que las gravitacionales, ellas se cancelan entre sí, dado que ambos cuerpos tienen la misma cantidad de cargas positivas y negativas.
Isaac Newton estableció tres "leyes" que relacionan fuerzas y movimiento, y que constituyen la base de la dinámica.
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Primera ley de Newton |
La primera ley de Newton establece que:
En ausencia de una fuerza neta, un cuerpo en reposo permanece en reposo, y un cuerpo en movimiento continúa moviéndose en línea recta y a una rapidez constante.
Las fuerzas son vectores, por lo que deben ser especificadas tanto en módulo (tamaño) como en dirección y sentido. Las operaciones con vectores requieren de un álgebra especial ('algebra vectorial), de la cual se muestra un resumen en la hoja siguiente.
Si varias fuerzas están actuando sobre una partícula, todas ellas pueden reemplazadas por una sola, llamada fuerza resultante, que se obtiene mediante una suma vectorial
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(1.1)
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Si una partícula está en reposo o tiene movimiento uniforme se dice que está "en equilibrio". Por lo anterior, la condición para el equilibrio es
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(1.2)
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En un sistema de dos o tres dimensiones se debe calcular la resultante en cada eje de coordenadas. Para que una partícula esté en equilibrio la resultante en cada eje de coordenadas debe ser cero. Si para una partícula la resultante es cero en uno o dos ejes, pero en un tercer eje no es cero, la partícula no puede estar en equilibrio.
(nótese que el chiste está mal traducido. Garfield
debiera decir: "Los cuerpos en reposo tienden a seguir en reposo")
La primera ley de Newton es muy interesante. Muchas veces nos beneficiamos de ella: Dejamos de pedalear en la bicicleta y ella sigue avanzando. Dejamos de remar y el bote sigue avanzando. Tomamos una piedra, la "aceleramos" con la mano, y la piedra sale volando, sin que nadie la empuje mientras sigue en vuelo. De tan obvio, no nos damos cuenta que no todos disfrutan del uso de la inercia. Nosotros lo hacemos porque somos "grandes", pero para animales pequeños la cosa es muy distinta. Por ejemplo, si una bacteria Escherichia coli deja de autoempujarse, (lo que en su caso es como dejar de remar), la distancia que "sigue avanzando" es de 0,1 Armstrong, es decir !la décima parte del diámetro típico de un átomo! Animales del tamaño de la E. coli no conocen la inercia, vive en un ambiente completamente distinto al nuestro. Para ellos es como si la primera ley de Newton no existiera. Esto implica que sus mecanismos de propulsión deben ser muy distintos a los que tenemos en el ambiente "macroscópico" en que vivimos los "grandes".
| Tercera ley de Newton |
Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, éste ejerce sobre A una fuerza del mismo módulo, de la misma dirección y de sentido contrario.
A partir de esta ley, a primera vista simple y trivial, se puede hacer las siguientes observaciones:
- Es imposible la existencia de una fuerza aislada. Las fuerzas siempre aparecen "de a pares". Esto tiene importantes consecuencias cosmológicas.
- Las dos fuerzas que aparecen son llamadas acción y reacción. Cualquiera de ellas puede ser llamada acción, correspondiendo a la otra ser reacción.
- Las fuerzas de acción y reacción siempre actúan sobre
cuerpos diferentes.
| Segunda ley de Newton |
La segunda ley de Newton establece que
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(3.1)
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La fuerza resultante necesaria para producir en un cuerpo
una aceleración a es ma, donde m es una constante de
proporcionalidad llamada masa del objeto.
La unidad de masa habitual es el kilogramo, o simplemente kilo
(abreviado kg), que corresponde a una masa patrón definida convenientemente.
Un kilo de masa corresponde aproximadamente al agua contenida en un volumen
de 1litro (1000 cm3).
La unidad de fuerza más utilizada en el ambiente científico
es el Newton (abreviado N). Una fuerza neta de 1 N produce que un
cuerpo de masa 1 kg experimente una aceleración de 1 m/s2.
A fin de tener una idea del "tamaño" de esta fuerza, conviene saber
que corresponde aproximadamente a la fuerza peso que tienen 100 gramos de
masa a nivel del mar.
Observaciones:
1. Al observar la definición de fuerza dada por la segunda ley
de Newton se observa que la fuerza resultante (o neta) es
proporcional a la aceleración del cuerpo que siente esa fuerza.
Reconocer que la fuerza resultante es proporcional a la aceleración
de la partícula fue un gran aporte de Newton, tal vez, de hecho,
el
más genial de ellos. Por consiguiente, si las fuerza neta es constante,
el movimiento será uniformemente acelerado.
Lo anterior no descarta que haya fuerzas proporcionales a la rapidez o dependientes
de la posición de los cuerpos. Por el contrario, esos son los casos más
comunes. De hecho, entre las fuerzas que dependen de la rapidez están
las fuerzas viscosas (casos laminar y turbulento), la electromagnética,
la de Coriolis (se verá más adelante), etc. Entre aquellas dependientes
de la posición están las fuerzas elásticas, las gravitacionales,
las electrostáticas, etc. Todas ellas, sin embargo, se escriben "al lado
izquierdo" de (D3.1), o sea en la sumatoria de fuerzas, como causas del
movimiento. En el "lado derecho" sólo se escribe la masa del cuerpo en
estudio multiplicada por la aceleración (el cuerpo puede tener
sólo una aceleración). Reconocer esta diferencia puede
ser muy importante en situaciones prácticas, puesto que "pasar" una fuerza
de un lado al otro de esa ecuación la hace cambiar de signo. De allí
proviene, por ejemplo, el típico error que se comete al hablar de fuerza
"centrífuga" en lugar de, como debiera ser, fuerza centrípeta.
2. La segunda ley de Newton escrita en la forma D3.1 vale sólo en un sistema inercial, vale decir, en un sistema que no esté siendo acelerado. Eso implica que la determinación de las variables que aparecen en D3.1 (fuerzas, aceleración, masa) debe ser hecha en un sistema inercial. En particular, dado que la Tierra es un sistema en rotación, y por lo tanto no-inercial, no se puede aplicar directamente la ecuación D3.1 a casos terrestres, a menos que uno "transforme" las variables medidas a un sistema inercial. Para ver si es posible ocupar D3.1 directamente, sin transformar las variables, debe verse en cada caso en qué medida las mediciones son afectadas por la rotación de la Tierra. El número de Rossby (que será definido más delante) permite decidir esto.
3. A la constante m que aparece en la segunda ley de Newton, la masa,
se le puede asignar dos significados: Por una parte está asociada a la
"cantidad de materia" de un cuerpo y, por esa vía, al "peso"
del cuerpo. Por otra parte, m puede ser vista como una medida de la resistencia
que el cuerpo opone a que su velocidad sea cambiada, o sea, de su inercia.
Este modo de ver la masa se llama masa inercial.
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Fuerzas viscosas: caso laminar y turbulento |
Las características de la fricción entre un fluido y un sólido (caída de larvas, dispersión de polen, etc.) dependen fuertemente de si el flujo es laminar o turbulento.
En el caso en que el número de Reynolds sea mucho menor que uno, o sea en el caso de un flujo laminar, la fuerza de roce entre el sólido y el fluido es proporcional a la rapidez relativa entre el sólido y el fluido, de acuerdo a la ley de Stokes
En el caso, en cambio, en que el número de Reynolds sea mayor que uno, o sea en el caso de flujo turbulento, la fuerza viscosa depende del cuadrado de la rapidez relativa entre el sólido y el fluido, en la forma
En esta última ecuación A es el área transversal de la esfera. Las demás variables son las mismas ya explicadas en la sección de cinemática. Nótese que en esta ecuación no aparece la viscosidad del fluido, aunque si su densidad. Esto sugiere una diferencia fundamental entre el roce "laminar" y "turbulento": en el caso turbulento el roce se debe fundamentalmente a la inercia del fluido, y no tanto a efectos viscosos.
Dado que las fuerzas viscosas dependen en forma distinta de la rapidez (linealmente en el caso laminar y cuadráticamente en el caso turbulento), las velocidades tienen también distinta "historia" en ambos casos: No sólo son las velocidades de asentamiento diferentes, como fue mostrado en la sección de cinemática, sino también llegan a esa velocidad límite en modos distintos. Por ejemplo, si uno deja caer un cuerpo sólido en un fluido, de manera que su rapidez inicial es cero, la dependencia temporal de la velocidad en todo su recorrido (desde que comienza el movimiento y no sólo en su fase "terminal") tiene la forma
en el caso laminar, donde se escribió la fuerza viscosa simplemente como F=bv, a fin de no complicar la expresión matemática de v(t), y la forma
en el caso turbulento, donde se escribió la fuerza viscosa turbulenta simplemente como F=kv2, por la misma razón que para el caso laminar. Para llegar a estas dos ecuaciones se usa la segunda ley de Newton, tomando en cuenta la fuerza de gravedad, la fuerza viscosa, y una fuerza proveniente de la diferencia de densidad entre cuerpo y fluido, que es llamada "fuerza de empuje" y será estudiada más adelante. Dado que en este caso ello implica la resolución de sendas ecuaciones diferenciales (una muy sencilla para el caso laminar, y otra algo complicada para el caso turbulento), su deducción no se presenta aquí.
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Roce entre el viento y el océano |
Un caso muy importante de "roce" de un fluido sobre otro lo constituye el caso del viento sobre el océano. En ese caso se habla de "esfuerzo del viento" sobre el océano ("wind stress", en inglés). El "esfuerzo", más que una fuerza, es realmente una fuerza por unidad de área, es decir una especie de "presión paralela" que hace el viento sobre el océano. En ese sentido es distinto a una presión "normal", la que actúa perpendicularmente sobre las paredes de un cuerpo.
El esfuerzo del viento no sólo modifica la circulación marina cerca de la superficie, sino también gobierna otros importantes procesos, como los flujos turbulentos de materia y energía a través de la interfase aire-agua, la generación de algunas ondas marinas superficiales (entre ellas las olas), y las fuerzas laterales sobre barcos y estructuras marinas.
El esfuerzo del viento sobre el océano, estando relacionadoa una fuerza turbulenta, tiene una forma cuadrática, en la forma
donde C es una función adimensional que representa la eficiencia del
viento en producir esfuerzo. Esta ecuación es fácil de justificar:
La fuerza entre un sólido y un fluido turbulento era F=CDA
v2/2.
Dado que 
=F/A, se llega
de inmediato a la ecuación mostrada arriba si se define C=CD/2.
Ajustando los valores experimentales disponibles, Wu (1982) encontró
que, a 10 m de altura, el mejor C está dado por
donde U10 representa el valor del viento medido a 10 metros de altura, expresado en m/s. Se elige parametrizar el esfuerzo del viento utilizando el viento a 10 m de altura debido a que esa es una altura típica a la que se mide el viento sobre el océano (corresponde aproximadamente a la altura de la borda en los buques grandes y a la altura del mástil en barcos pequeños).
En caso que la medición de la intensidad del viento no sea hecha a 10 m de altura, debería corregirse el valor del esfuerzo calculado. Esta correción puede hacerse de distintas formas. Una de las más sencillas es usar una simple dependencia polinomial de la intensidad del viento con la altura. Así, por ejemplo, Hsu et al. (1994) mostraron que una buena relación entre la rapidez del viento a dos alturas, válida hasta unos 50 m de altura tanto para aguas someras como en océano abierto es
donde P tiene un valor que fluctúa en torno a 0,11. Este valor de P es siempre válido en los casos en que la temperatura del aire es mayor que la del agua. Si la temperatura del aire es menor que la del agua el resultado sigue siendo válido, en tanto la intensidad del viento no sobrepase un valor crítico, el que depende de la diferencia de temperaturas entre ambos fluidos.
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Roce entre una cuerda y un sólido |
en que 
es el ángulo
de contacto entre la cuerda y el sólido, expresado en radianes, y µ
es un coeficiente de roce, el que generalmente asume valores entre 0 (sin
roce) y 1 (mucho roce). En el caso mostrado,
es 
radianes, dado que
el ángulo de contacto es 180º.
El mismo tipo de cuerda y cuerpo sólido puede tener dos tipos distintos de µ, dependiendo de si la cuerda "resbala" a lo largo de la superficie o si se mantiene sin deslizar. El primer caso, cuando la cuerda se mueve con respecto al sólido, se representará aquí mediante µc (de "cinético"). El caso en que la cuerda está en reposo con respecto al sólido se representará mediante µe (de "estático").
Algunos valores típicos de µe (o sea, caso estático), tomados de Avallone y Baumeister (1995) son:
| Tipo de cuerda | sobre |
µe
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Banda de cuero |
polea de madera ligeramente grasosa polea de hierro muy grasosa polea de hierro ligeramente grasosa polea de hierro húmeda |
0,47 0,12 0,28 0,38 |
| Cuerda de cáñamo |
tambor de madera madera áspera madera pulida tambor de hierro |
0,40 0,50 0,33 0,25 |
| Bandas de freno de hierro | poleas de hierro |
0,18
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Se observa que el roce permite sostener pesos muy grandes. Por ejemplo, si una persona es capaz de sostener una fuerza de 30 kg, entonces, si hace que la cuerda de una vuelta completa (ángulo de contacto de 360º, pero expresados en radianes) en torno a un pilote de madera áspera, como un pilote (µe), puede aguantar un "tirón" de casi 700 kg..
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Ejercicios sugeridos |
01. A fin de impresionar a sus alumnas con su fuerza bruta, un ayudante-alumno se sostiene colgando con ambos brazos desde una barra horizontal durante un par de semanas (exagerando un poco, por supuesto). ¿Qué fuerza ejerce cada brazo: (a) si están paralelos? (los brazos, no los alumnos) (b) si cada uno forma un ángulo de 30° con la vertical, o sea que la distancia entre ambas manos es más grande que la distancia entre los hombros?
02. Para hacer avanzar un bote en un río pequeño se emplean dos caballos, uno en cada orilla del río, tirando de sendas cuerdas unidas a la proa del bote. Un caballo típico puede ejercer una fuerza de unos 250 (kgf).
03. Estime la fuerza que debe ejercerse sobre un CTD para subirlo desde cierta profundidad a la superficie del océano mediante un winche. Por ahora, considere sólo la fuerza de roce del agua (sin roce en el winche).
04. Algunos animales tienen formas muy hidrodinámicas y coeficientes de arrastre relativamente bajos. Por ejemplo, el coeficiente CD del delfín vale 0,055. Si el delfín presenta un área de 0,11 m2 al nadar a 8,3 m/s, ¿cuál es la fuerza de arrastre sobre él?
05. Evalúe la fuerza que hace la corriente de un río sobre el tronco de un árbol que está metido en el río.
06. (a) Estime la fuerza que hace un viento intenso sobre una persona que permanece de pie, suponiendo que el coeficiente de arrastre es 1.(b) ¿Se ha fijado usted que instintivamente la persona se inclina hacia adelante, para contrarrestar la acción del viento? Usando su respuesta en la primera parte de este ejercicio, estime el ángulo que la persona se inclina.
07. Estime el esfuerzo sobre el océano de un viento de 11 m/s, medido a 8 m de altura sobre el nivel del mar.
08. Imagínese un campeonato de tirar la cuerda, pero donde es permitido darle una vuelta a la cuerda alrededor de un pilote vertical. ¿A cuántas personas podría sostener una sola persona?
09. Un marinero trata de sujetar una lancha mediante una cuerda horizontal, la que previamente ha enrollado (una vuelta) en torno a un pilote vertical. ¿Qué fuerza necesita hacer el marinero si el lanchón da un tirón de 2 Ton-f? ¿Puede o no puede sostener la lancha?
10. ¿Qué ángulo debe formar una cuerda con un pilote vertical, para que una persona, que puede ejercer una fuerza horizontal de hasta 80 kg-f, aguante un tirón de una tonelada (de fuerza)? Exprese el resultado en radianes, en grados, y en "vueltas".
11. Evalúe que peso máximo puede sostener una persona que sujeta una carga colgante mediante una cuerda vertical que pasa por encima de una rama (horizontal) de un árbol.
12. En los bordes orientales de los océanos (o bordes occidentales de los continentes) el viento dirigido hacia el ecuador y la rotación de la Tierra inducen un ascenso de las aguas marinas costeras. Este proceso, muy importante para las pesquerías en Chile, Perú y California, es llamado surgencia costera (coastal upwelling, en inglés). Un modelo de surgencia costera predice que la rapidez de ascenso de las aguas costeras puede ser estimada a partir de
donde es el esfuerzo del
viento paralelo a la costa, dirigido hacia el ecuador, es
la densidad del agua, L es una distancia horizontal perpendicular a la
costa, que represente la escala del proceso, y f es el parámetro de Coriolis
(donde 
es la velocidad
angular de la Tierra y
es la latitud del lugar).
(a) Suponiendo una costa norte-sur, evalúe la velocidad vertical del agua para un viento de 13 m/s que incide sobre la costa desde el sur-oeste, en Concepción. El viento fue medido a 10 m de altura. Para L frente a Concepción un valor adecuado es 15 km (véase la Tesis de Doctorado en Oceanografía "Surgencia costera sobre una plataforma continental limitada por cañones submarinos, Concepción, Chile Central (36º40'S; 73º15'W)", de Marcus Sobarzo [msobarz@udec.cl] ).
(b) Estime por cuánto tiempo debe soplar este viento para que agua de 100 m de profundidad ascienda hasta la superficie.
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Referencias de este capítulo |
Referencias de esta capítulo:
Avallone, E., y T. Baumeister. Manual del ingeniero mecánico. (9a edición). McGraw-Hill, Juárez (México), 1995.
Hewitt, P. G. Física conceptual. Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.
Hsu, S.A., E.A. Meindl, and D.B. Gilhousen, Determining the power-law wind-profile exponent under near-neutral stability conditions at sea, J. Applied Meteor., 33, 757-765, 1994.
Kane, J. W., y M. M. Sternheim, 1989. Física. Editorial Reverté, Barcelona, España, 795 pp.