Leyes de Kepler Teoría de Newton de la gravitación La fuerza peso y su variación con la altura Ciclos de Milankovitch Mareas Ejercicios propuestos para el capítulo

Leyes de Kepler

Las "leyes" que Kepler (1571-1630) dedujo a partir de las observaciones astronómicas planetarias hechas por Tycho Brahe (1546-1601) forman una especie de "cinemática" planetaria. Se trata de observaciones acerca de las órbitas de los planetas y de los tiempos involucrados en sus giros en torno al Sol:

1. Cada planeta gira en torno al Sol describiendo una órbita elíptica, de la cual el Sol ocupa uno de los focos.

2. La recta que une cada planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3. Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los radios promedios de sus órbitas. (En forma de ecuación: T² = K r³ ).

Hay algunos comentarios que pueden ser hechos aquí. En primer lugar, si bien es cierto que las órbitas de los planetas en torno al Sol son elípticas y no circunferenciales, la "elipticidad" de ellas es extremadamente pequeña. Eso justifica, en ciertos casos, aproximarlas simplemente por una circunferencia, como se hará en la siguiente sección para deducir la teoría de la gravitación de Newton. Otro comentario es que la variable "r" que aparece en la tercera ley de Kepler no es el radio del planeta respectivo, por supuesto, sino el radio promedio de su órbita, o sea la distancia media que hay entre ese planeta y el Sol. Tycho Brahe ya había observado con gran precisión las variaciones de las posiciones de los seis planetas que se conocían en ese entonces, antes de la invención del telescopio. Kepler trabajaba para Brahe, y cuando éste falleció Kepler se "consiguió" todos sus datos para seguir con sus cálculos, lo que le tomaron unos nueve años. De ahí salieron estas tres "leyes".

Teoría de Newton de la gravitación

Newton ya tenía sus tres "leyes", y podía explicar con ellas las "causas" de los movimientos sobre la Tierra. Una nueva genialidad suya fue suponer que "las leyes celestiales son las mismas que las terrestres". Pensemos que para una persona de la Edad Media era un punto de vista novedoso y audaz, ¡incluso bordeando el sacrilegio! Se había enseñado durante muchos años que lo celestial se regía por sus propias leyes, independientes de las que regían "aquí abajo". El audaz enfoque de Newton ha sido tema de muchos comentarios, porque constituye un "salto"en el pensamiento humano, una extrapolación digna de un genio. Para complementar este párrafo laudatorio de Newton, probablemente el más grande de todos los físicos, no puede dejar de mencionarse que, para poder deducir sus teorías acerca de las fuerzas y la gravitación, Newton inventó el cálculo diferencial (diciéndolo de modo sencillo, todo lo relacionado con derivadas e integrales), simultánea e independientemente de Leibnitz, un matemático.

Otro comentario general es que la teoría de gravitación de Newton es una de las teorías de gravitación, sin duda la más exitosa y más utilizada cotidianamente. Durante el siglo XX se encontró ciertos casos en que la teoría de Newton se apartaba levemente de los datos experimentales. Ello llevó a buscar una teoría más general que la de Newton. Hay propuestas decenas de esas teorías más generales - la red está llena de ellas (bueno,... casi llena. Si algún lector desea un par de ejemplos, que me mande un e-mail, pidiéndome las direcciones electrónicas). Por supuesto que la de Einstein es la más aceptada hoy en día. Ella encierra a la de Newton como un caso particular (o sea, la de Einstein es más general que la de Newton). A pesar que sabemos que la teoría de Einstein de la gravitación es más general que la de Newton, en este curso aprendemos la de Newton, debido a que es mucho más sencilla que la de Einstein, y que explica todo lo que la biología requiere de la gravitación (¡... hasta ahora!). Personalmente no conozco ningún caso en que en una aplicación "biológica" de la física se deba usar la teoría de Einstein de la gravitación en lugar de la de Newton.

Datos interesantes acerca del modelo de Newton para la gravitación pueden ser encontrados en esta dirección. En ese lugar hay incluso más material que el necesario para este curso, y contiene algunos ejercicios interactivos.

La idea de Newton es la siguiente: Un planeta girando en su órbita no se mueve en línea recta, por lo que debe estar sometido a una aceleración neta. Dado que la órbita es casi circunferencial la aceleración debe ser centrípeta, así que se tiene que la segunda ley de Newton queda

El "m" de esta ecuación proviene de la segunda ley de Newton, por lo que representa la masa de quién siente la fuerza, es decir, es la masa del planeta. Lo que "sostiene" a un planeta en su órbita es la atracción gravitacional del Sol, que llamaremos F_g (de "fuerza gravitacional"). Dado que ella es una sola fuerza, la suma de las fuerzas se reduce a sólo F_g. Supongamos que llamamos T al tiempo de la revolución de un planeta en torno al Sol (su "año"). Como la trayectoria es circunferencial, la distancia que recorre el planeta en el tiempo T es 2 r, por lo que se tiene que

Introduciendo esta expresión de v² en la segunda ley de Newton, simplificando un "r", y usando F_g se llega a

La tercera "ley" de Kepler establece que el cuadrado de T (el denominador de la ecuación recién escrita) es proporcional al cubo del radio de la órbita,

Newton se dio cuenta que la combinación de constantes que aparece entre paréntesis en esta última ecuación debe tener relación con la "causa" del movimiento, es decir, con el Sol, por lo que reescribió esa combinación como GM, donde M es la masa del Sol, y G sería una nueva constante, la que queda completamente definida al conocer la constante K de Kepler y la masa del Sol. Con esto la expresión final para F_g queda

Esa ecuación representa la famosa teoría de Newton para la gravitación. Estrictamente, esta ecuación es sólo válida para cuerpos puntuales de masas m y M, ubicados a una distancia r entre ellos. Sin embargo, usando la misma teoría de Newton, se puede demostrar (se debe usar integrales, así que no lo hacemos aquí) que en el caso de cuerpos esféricos se puede usar la misma expresión, si r es la distancia entre los centros de los cuerpos. Afortunadamente los planetas y el Sol pueden suponerse esféricos, por lo que la ecuación recién mostrada puede ser aplicada para calcular la fuerza gravitacional que el Sol ejerce sobre ellos. Por la tercera ley de Newton, la fuerza que el Sol ejerce sobre un planeta es la misma que el planeta ejerce sobre el Sol. En realidad, la ecuación anterior puede ser usada para calcular la fuerza gravitacional entre dos cuerpos cualesquiera de masas m y M, ubicadas a una distancia r entre ellas. La única restricción es que deben ser puntuales o de simetría esférica. La constante G que aparece en la gravitación de Newton es una de las "constantes" más importantes de la física. ¡Hasta ahora sigue siendo constante! Cavendish fue el primero que determinó su valor, por lo que la constante lleva su nombre. Sorprendentemente, Cavendich no determinó la constante G a partir de datos astronómicos - como podría pensarse - sino midiendo directamente en su laboratorio la fuerza gravitacional entre dos cuerpos esféricos de masas conocidas. El valor que usaremos en este curso para esa constante es G = 6,67x10^-11 Nm²/kg².

 

La fuerza peso y su variación con la altura

 

La fuerza "peso" es nada más que la atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre un objeto (y que el objeto ejerce sobre la Tierra, ¡acción y reacción!). Por lo tanto, corresponde a una aplicación de la ecuación anterior, en que una masa es la masa de la Tierra, y la otra la del objeto. Llamemos M_T a la masa de la Tierra, y sencillamente m a la masa del objeto. Si el objeto se encuentra sobre la superficie de la Tierra, entonces la distancia r entre él y la Tierra corresponde al radio de la Tierra, que aquí llamaremos R_T (estamos suponiendo que la Tierra es esférica, y que el objeto es "pequeño", de modo que pueda ser considerado puntual. Si el objeto fuera una montaña, por ejemplo, no podría hacerse el cálculo en la forma sencilla en que se muestra aquí). Con lo anterior, la fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre el objeto es

Pero la fuerza de atracción gravitacional de la Tierra sobre el objeto es simplemente lo que llamamos "peso" del objeto

Comparando ambas ecuaciones se deduce que la aceleración de gravedad es nada menos y nada más que

En este curso usaremos los valores M_T = 6x10²⁴ kg, y R_T =6371 km. Dado que la Tierra no es esférica, este valor del radio de la Tierra corresponde realmente al radio de una esfera equivalente que contenga el volumen real de la Tierra. En las ecuaciones ese radio debe ser usado en metros, por supuesto.

La expresión anterior permite calcular el peso de un objeto a cualquier altura sobre la superficie de la Tierra. La masas m del objeto y M_T de la Tierra son independientes de la altura, por supuesto. Lo que varía con la altura es la aceleración de gravedad, g. Si el objeto de masa m se encuentra a un altura h sobre la superficie de la Tierra, entonces la distancia r entre el centro de la Tierra y el objeto será sencillamente (R_T+h). A esa altura, la aceleración de gravedad será

En esta ecuación se hizo una amplificación por un factor R_T², a fin de formar el valor de la aceleración de gravedad al nivel de la superficie de la Tierra, según la penúltima ecuación. A ese valor, a altura cero, lo llamaremos simplemente g₀. Con esto, y uniendo los cuadrados del numerador y del denominador de la última ecuación en un solo cuadrado, se tiene

Con esta ecuación se puede calcular la fuerza peso a cualquiera altura h sobre la superficie de la Tierra, calculando el g correspondiente a la altura y multiplicando por la masa m del objeto. Para el valor g₀ puede usarse el valor usual 10 m/s² (o 9,8 m/s², si se necesita mayor precisión).

Usando una conocida aproximación matemática (está presentada en "Anexos") se puede transformar la ecuación anterior a algo aun más sencillo. Si la altura h es "pequeña" comparada con el radio de la Tierra (digamos, es menor a un 5% de ese radio, por dar un límite), entonces se puede aproximar la relación anterior por

Nótese que esta expresión permite estimar la aceleración de gravedad (y por lo tanto el peso) a cualquier altura "pequeña" sobre la superficie de la Tierra, pero no permite calcular lo mismo para puntos que están debajo de la superficie de la Tierra. En el ejercicio 5, al final de este capítulo, se plantea cómo hacer ese cálculo.

Ciclos de Milankovitch

En el capítulo de movimiento circular se discutió la variación de la rotación de la Tierra en torno a su eje producido por las mareas y por los eventos El Niño. En ambos casos la señal más evidente es una variación en la longitud del día, en distintas escalas temporales. Hay variaciones en la rotación de la Tierra que pertenecen a otras escalas de tiempo, y que son producidas por interacciones gravitacionales de la Tierra con agentes externos, todos "astronómicos". Ellos son llamados ciclos de Milankovitch, por su descubridor, un científico serbio. Lo transcendente para la biología es que estas "señales", aunque muy débiles, son de alguna manera "captadas" por la biota, y aparecen en los registros paleográficos, en los sedimentos, en los anillos de los árboles, en los corales, etc. La relación entre las variaciones en la rotación de la Tierra y la forma como la biota reacciona es básicamente a través de los cambios en la radiación solar que reciben los seres vivos cuando la rotación de la Tierra cambia. El efecto puede ser directo, es decir que los cambios en la radiación afecten a la fotosíntesis, por ejemplo, o indirecto, como por ejemplo que los cambios en radiación solar afecten a la temperatura de los océanos y ésos a su vez afecten a los seres vivos.

En este lugar y en este otro hay sencillas y gráficas descripciones de los ciclos de Milankovitch (en inglés).

Básicamente se trata de las variaciones de la tasa de rotación terrestre que se mostrará a continuación. Lla discusión se hace de acuerdo a Loedel y de Luca (1940). Al final de esta sección se muestra una figura-resumen.

Movimiento de Precesión (caso (c) en la figura siguiente): Los polos celestes, es decir la prolongación del eje de rotación de la Tierra, describen con respecto a las estrellas cercanas una circunferencia cuyo diámetro aparente es de 46°54', con un período de unos 260 siglos. El sentido de giro es tal que los puntos equinocciales giran alrededor del eje de la eclíptica en sentido retrógrado (de este a oeste), en 50,2'' por año, aproximadamente, lo que equivale a 1° cada 70 años. Este movimiento, conocido ya por Hiparco (190-124 A.C.), implica que cada 13 mil años se invierten los equinoccios y solsticios.

Además de la precesión de los equinoccios, este movimiento produce los siguientes efectos:

- Variación de la longitud a la que se observa una estrella en 50,2''/año.

- Cambio de las estrellas polares. Un siglo antes de la era cristiana la estrella polar norte (alfa, de la Osa Menor) distaba 12° del polo celeste norte, y hacia el año 2100 apenas distará medio grado, pero a partir de esa época se irá distanciando hasta perder su condición de estrella polar norte. Las siguientes estrellas polar norte serán Deneb del Cisne (en 8 mil años más) y Vega de la Lira (en 12 mil años más). En el hemisferio sur, hace 3 mil años la polar estaba en la constelación de la Hidra Macho. Dentro de 120 siglos estará cerca de Canopus. Entretanto serán estrellas polar sur varias estrellas de la constelación Navío, entre ellas varias de segunda magnitud.

- Variación de la duración de las estaciones: Como consecuencia de la elipticidad de la órbita terrestre, las estaciones del año no tienen la misma duración, comparadas entre sí. En la actualidad, para el hemisferio sur, verano es la estación más corta e invierno es la más larga. Dentro de unos 4500 años el verano y otoño serán de igual duración, y lo mismo para invierno y primavera. En cambio, hacia el año 1260 coincidieron en duración el verano con la primavera y el otoño con el invierno.

- Reducción de la duración del año trópico: Al tener la rotación aparente del Sol y la de precesión terrestre sentidos contrarios, durante el año el Sol acorta su recorrido en unos 20 minutos. Así, mientras el año sideral dura 365 días, 6 horas, 9 minutos y 9 segundos, el año trópico se reduce a 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos.

En cuanto a la causa de la precesión, ésta se debe a la atracción gravitacional que ejercen la Luna y el Sol sobre el abultamiento de la zona ecuatorial terrestre. En particular la acción de la Luna tiende a disponer al eje terrestre según la perpendicular al plano de su órbita inclinado en unos 5° con respecto al de la eclíptica, y su efecto se suma al del Sol por tener casi la misma dirección. La acción de la Luna, por su cercanía, es mayor: De los 50''/año que recorre cada equinoccio sobre la eclíptica, 34'' corresponden a la acción lunar, y sólo 16'' a la del Sol.

Movimiento de nutación: Al igual que la Tierra, la Luna tiene un movimiento de precesión, cuyo período es de apenas 18 años y 18 meses. Dicho movimiento presenta al satélite en diversas posiciones con respecto a la Tierra, de modo que su acción gravitatoria, tomando direcciones variables, origina un balanceo del eje terrestre alrededor de su posición media. Esto produce que los polos celestes formen pequeñas elipses que tienen el período mencionado. Los ejes mayor y menor de las elipses tiene amplitudes de unos 18'' y 13'', y están orientadas según arcos (celestiales) de longitud y latitud, respectivamente. A este movimiento se le conoce con el nombre de nutación.

Si se combina los movimientos de precesión y nutación se tiene una curva de unos 1400 bucles, originados por la nutación, durante los 26 mil años que dura la precesión.

Como consecuencia de la nutación, cada estrella aparece describiendo las pequeñas elipses mencionadas, con período de 18 años y 8 meses.

Rotación de la línea de los ápsides: La línea perigeo-apogeo rota en el sentido directo a razón de 11,5''/año, tardando unos 550 siglos en invertirse, y el doble, o sea unos 110 mil años, en volver a su posición. En este movimiento cada ápside aparece describiendo en el espacio una circunferencia cuyo diámetro es, aproximadamente, dos unidades astronómicas, o sea dos veces la distancia media Tierra-Sol.

Variación de la excentricidad (caso (a) en la figura siguiente): La excentricidad se define como e=CF/AA, donde CF es la distancia entre el centro geométrico de la elipse y uno de sus focos, y AA es la distancia ápside-ápside. En un período de 80 mil años la excentricidad de la órbita terrestre pasa de un máximo de 0,02 a un mínimo de 0,0003. Actualmente su valor es 0,01675 en descenso, calculándose que en 24 mil años alcanzará su valor mínimo, en cuyo caso la órbita terrestre será casi circunferencial.

Mareas

Las mareas están relacionadas a la atracción gravitacional ejercida sobre la Tierra por la Luna y el Sol. De ellos, la Luna es quién más influencia tiene sobre las mareas. Por lo mismo, en la primera parte de esta sección sólo se considerará el efecto producido por la Luna, a fin de simplificar el modelo y mostrar diagramas con sólo dos cuerpos.

En un sistema de dos cuerpos que rotan, la forma en que rotan depende de cómo son las masas de los cuerpos. Si un cuerpo tiene una enorme masa y el otro una masa muy pequeña, el cuerpo pequeño rotará en torno al grande, sin que este último se vea muy afectado por la rotación del cuerpo pequeño. Es el caso cuando un niño ata una piedra pequeña a un hilo y la hace rotar en torno a su cuerpo. El movimiento del niño no se ve muy afectado. Si la masa de la piedra es grande, sin embargo, afectará al cuerpo del niño a medida que éste la hace girar, y el niño tendrá que balancearse. Si los dos cuerpos que rotan tienen masas iguales, ambos rotarán en torno a un eje común, el cual estará fuera de esos dos cuerpos. Es el caso, por ejemplo, si dos personas de masas parecidas se ponen de frente, se toman de ambas manos y rotan juntas. El eje de rotación estará entre ellas, y ambas personas rotarán en torno a ese eje común (¿y cómo les dicen?).

Sucede algo parecido con el movimiento conjunto de la Luna y la Tierra. Muchas veces se dice que "la Luna rota en torno a la Tierra". La verdad es que, si bien la Luna tiene una masa pequeña comparada con la de la Tierra (es un factor 1/81), no es tan pequeña como para que no afecte al movimiento de la Tierra, y en realidad ambos cuerpos rotan en torno a un centro común, con un periodo cercano a los 28 días. Ese centro común se encuentra dentro de la Tierra, en un punto que se encuentra en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. Sin embargo, dado que la Tierra - además - rota en torno a su eje, el punto en torno al cual la Tierra y la Luna co-rotan cambia continuamente de posición bajo la superficie de la Tierra. Es un eje instantáneo. Para simplificar las cosas, en la primera parte de la discusión de las mareas supondremos que la Tierra no rota en torno a su eje, o sea, consideraremos el centro común Tierra-Luna como fijo en un punto bajo la Tierra.

De acuerdo a la segunda ley de Newton (¡de nuevo!), "alguien" debe proporcionar la fuerza centrípeta que mantiene a ambos cuerpos rotando en torno a ese eje común. Ese "alguien" es la atracción gravitacional entre la Luna y la Tierra. Esa atracción gravitacional, sin embargo, proporciona la fuerza centrípeta para que los centros de la Luna y la Tierra co-roten en torno al eje instantáneo (en este mismo capítulo se discute - más arriba - que en el caso de cuerpos esféricos las fuerzas gravitacionales actúan sobre los centros). Por lo tanto, las zonas de la Tierra que están "más cerca" de la Luna sienten una atracción gravitacional mayor que la necesaria para mantener su órbita en torno al centro común. En esas zonas, por lo tanto, la fuerza gravitacional de la Luna (en exceso), produce una aceleración centrípeta "demasiado grande", por lo que tienen un radio de giro menor, acercándose a la Luna. En palabras simples, la fuerza gravitacional ejercida por la Luna es demasiado grande en esas zonas. La materia que forma la Tierra (aire, agua, tierra sólida) siente ese desbalance de fuerzas, y tiende a acumularse hacia el lado de la Luna, formándose una protuberancia en esa dirección. Por otra parte, en las zonas de la Tierra que están en el lado opuesto, "más lejos" de la Luna, ocurre justamente el efecto contrario: Al estar más lejos de la Luna la atracción gravitacional de ésta no alcanza a producir una fuerza centrípeta que mantenga a esas partes en la misma órbita que el centro de la Tierra, por lo que ellas tienden a "seguir derecho", por inercia, formándose también una protuberancia a ese lado de la Tierra. Esto es parecido a cuando uno va en un auto y "toma" una curva a cierta rapidez. Uno calcula el efecto centrípeto del roce del suelo para tomar la curva. Si el suelo está resbaloso (si hay hielo, por ejemplo), la fuerza de roce es menor que la que uno esperaba, y el auto "se sale del camino" en forma parecida a como reacciona esa parte de la Tierra que está en el lado opuesto a la Luna: Simplemente no siente "tanta" fuerza centrípeta como la que necesita para una trayectoria igual a la del centro de la Tierra.

En resumen: se forman dos protuberancias, una en la cara de la Tierra que mira hacia la Luna y la otra en la cara opuesta. Una forma matemática de hacer ésto se muestra en el ejercicio 7 , al final de este capítulo.

El diagrama muestra las fuerzas que producen las "protuberancias" de marea, según un modelo muy sencillo en que sólo la Luna produce las mareas, y la Tierra está toda cubierta de agua (sin continentes). En el diagrama superior se considera a la Luna en el plano ecuatorial, mientras que en el diagrama inferior se supone que la Luna está fuera del plano ecuatorial.

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Ahora compliquemos el asunto un poco: la Tierra rota diariamente en torno a su propio eje, así que la zona que "pasa" frente a la Luna va cambiando durante el día. Un punto cualquiera de la Tierra pasa frente a la Luna una vez al día y por el lado opuesto a la Luna también una vez al día (casi, hay una pequeña diferencia por el movimiento de la Luna en torno al centro común). Por lo tanto, cada punto de la Tierra tiene "protuberancias" dos veces cada día, y también dos "hundimientos" cada día. Estos últimos ocurren cuando el punto está en las dos posiciones que forman un ángulode 90º con la dirección a la Luna. Esa es la razón por la cual se observa dos mareas altas y dos mareas bajas por día. En realidad en un poco más de un día: el intervalo promedio entre dos mareas altas o entre dos mareas bajas es 12 horas y 25 minutos. Por lo mismo, una marea alta de un día está "atrasada" en 50 minutos con respecto a "la misma" alta del día anterior. Ello se debe a que, al rotar la Luna en torno al eje común con la Tierra, pasa en cada lugar 50 minutos más tarde que el día anterior.

La situación es aun más compleja porque no sólo la Luna produce mareas. El Sol también influye, aunque en menor grado que la Luna, y también produce dos protuberancias. Vistas desde la Tierra, las posiciones aparentes del Sol y de la Luna varían continuamente. En ocasiones de luna nueva y luna llena los efectos de la Luna y del Sol se suman, caso llamado sicigia (spring tide, en inglés), dado que la Tierra, el Sol y la Luna se encuentran sobre una misma recta. En ese caso las mareas son particularmente intensas, o sea mareas altas particularmente altas y mareas bajas particularmente bajas. En ese caso el rango mareal (diferencia de altura del nivel del mar entre marea alta y marea baja) es máximo. Cuando las posiciones de la Tierra, el Sol y la Luna forman un ángulo recto entre sí los efectos de la Luna y del Sol se contrarrestan, caso llamado cuadratura (neap tide, en inglés). En ese caso las mareas son particularmente débiles (rango mareal muy pequeño). Entre dos sicigias hay 14,77 días, aproximadamente, lo mismo que entre dos cuadraturas. El diagrama siguiente muestra la geometría de ambas situaciones. Como se observa, en el primer caso los 3 cuerpos forman una línea recta, mientras que en el segundo caso forman un ángulo recto.

Conviene aclarar que el "levantamiento" del agua producido por las mareas no se debe a que el agua "suba" hacia la Luna (o hacia el Sol). Dado que la fuerzas que producen las mareas son pequeñas (ver ejercicio 6, abajo), no es posible que la fuerza de marea sea más grande que la fuerza de gravedad, como para "levantar" el agua. Lo que ocurre es que el agua fluye sobre la Tierra y tiende a concentrarse "bajo" la Luna (o el Sol), subiendo el mar de nivel. Lo mismo ocurre con la atmósfera. (En el caso de la atmósfera, gran parte de las mareas son producidas por el calentamiento del Sol).

Si el fluido que "sigue" a la Luna fuera un fluido ideal, la protuberancia estaría siempre "debajo" de ella. Dado que al gua tiene viscosidad interna, y roce con el fondo y los bordes del océano, la protuberancia se "retrasa" un poco. La posición de la protuberancia de marea está determinada por el equilibrio entre la atracción gravitacional de la Luna y la fuerza de fricción de una Tierra en rotación. La figura al lado muestra este caso, suponiendo que se observa a la Tierra por sobre el Polo Norte.

El efecto de las mareas es, por supuesto, un continuo levantamiento y un hundimiento del nivel del mar con respecto a su nivel promedio, y la formación de intensas corrientes ("corrientes de marea"), sobre todo paralelamente a la costa, en zonas costeras. El efecto puede ser muy distinto en distintos lugares del planeta, debido a que la topografía local juega un papel importante, al hacer que las cuencas se llenen y vacíen de agua durante las mareas. La siguiente tabla muestra una clasificación de la forma de las mareas en distintos lugares del mundo:

Las mareas llamadas "diurnas" tienen sólo una marea alta y una marea baja por día, como se muestra en el diagrama adjunto.
Las mareas llamadas "semidiurnas" tienen dos mareas altas y dos mareas bajas por día, las que son aproximadamente iguales entre sí (las altas entre sí y las bajas entre sí).
Las mareas llamadas "mixtas" son una mezcla de los casos diurnos y semidiurnos, es decir tienen más de una marea alta y de una marea baja por día, pero con muy distintas alturas. El caso mostrado aquí es el de Seattle, Estados Unidos.
Otro caso de mareas mixtas, en este caso el de Honolulu. "F" (de "flood") indica "llenante", es decir la etapa de la marea en que entra agua a las zonas semicerradas (golfos, bahías, estuarios), en tanto que "E" (de "ebb") indica "vaciante", es decir la etapa de la marea en que el agua sale de las zonas cerradas hacia el mar abierto.

Con respecto a la dirección de las mareas, se puede afirmar que:

Las mareas generan intensas corrientes, llamadas corrientes de marea, las que van rotando su dirección durante un periodo mareal de 12 horas. En este caso se muestra las dirección de las corrientes de marea frente a las costas de Massaschusetts, Estados Unidos. Se indica las direcciones de la corriente en cada hora entes y después de la marea baja ("L", de "low") y de la marea alta ("H", de "high").

En mar abierto las corrientes de marea rotan en todas las direcciones durante un ciclo de marea. En la zona costera, en cambio, las corrientes de marea tienden a ser más intensas a lo largo de la costa que perpendicularmente a ella. En zonas semicerradas, como bahías y ríos, las corrientes de marea son sólo "hacia adentro" o "hacia fuera".

Por último, un chiste sobre mareas (extraído de http://www.moonboy.com/sms/earth.htm).

Ejercicios propuestos para el capítulo

01. ¿Cuánto se puede subir desde la superficie de la Tierra, sin que g varíe más que en un 5%? [Resp: Unos 110 km]

02. Suponga que una sonda espacial se mueve en la línea Tierra-Sol. ¿Cuán lejos de la Tierra debe estar para que la fuerza gravitacional que siente desde el Sol balancee a aquella desde la Tierra? [Resp: Unos 260 mil km]

03. Muy recientemente (el 6 de Septiembre del 2001, para ser más preciso), se anunció que por primera vez se había obtenido una evidencia experimental de la existencia de un hoyo negro ("black hole") en el centro de nuestra galaxia. Quienes deseen leer más del asunto pueden verlo en este artículo que publicó el Washington Post (agradezco a Alvaro Olmos por avisarme de ese artículo). En el artículo en cuestión se dice que la masa estimada para el hoyo negro es de unas 2,6 millones de veces la masa del Sol, y que nuestro sistema solar estaría a una distancia de unos 27 mil años-luz del hoyo negro, que está en el centro de la galaxia. Con estos datos estime tanto la velocidad con que el sistema solar gira en torno al centro de la galaxia, como el tiempo que demora en dar una vuelta. La masa del Sol es de 1,9698x10³⁰ kg.

04. Todos hablan de las "Twin Towers". También nosotros: Las fotografías (de 1 metro de resolución) de "antes" y "después" de las Twin Towers mostradas por la prensa fueron principalmente obtenidas con el satélite Ikonos ("the world's first high-resolution commercial Earth imaging satellite"). Ese satélite viaja a una altura de 680 kilómetros. (a) Calcule la velocidad horizontal del satélite. (b) Calcule cada cuánto tiempo pasa sobre el mismo lugar. (c) Suponga que el satélite puede sacar una fotografía sólo estando en un "cono" de 3º de abertura desde el objeto que se desea fotografiar (no tengo información real acerca de ese ángulo de abertura, el valor que señalo es sólo una suposición). ¿Cuál tendría que ser la resolución temporal de la cámara para poder fotografiar el objeto mientras el satélite pasa sobre él?

05. Deduzca una expresión para g que sea válida para distancias r R_T (R_T es el radio de la Tierra). Nota: Considere sólo la cantidad de masa que hay dentro de la esfera de radio r, puesto que es sólo esa masa la que atrae a un objeto que está a cierta profundidad. La masa que está "por encima" de ella no juega ningún papel en el cálculo, puesto que la influencia de toda esa masa (la que está entre r y R_T) se anula entre sí. Para simplificar las cosas suponga que la densidad del interior de la Tierra es constante. [Resp: (GM_T/R_T³) r ].

06. Un satélite de comunicaciones usualmente debe permanecer "fijo" sobre algún punto de la Tierra, y es llamado por esta razón geoestacionario. ¿Cuál es la altura de la órbita que debe tener un satélite geoestacionario que orbita justo encima del ecuador terrestre? Otro nombre para estas órbitas es "arcos de Clarke", dado que A. C. Clarke (sí, el autor de cuentos de ciencia-ficción) propuso estos satélites geoestacionarios para comunicaciones ya en 1948. (Lamentablemente no patentó su idea, lo que lo privó de convertirse en uno de los hombres más ricos del planeta). [Resp: Unos 36 mil km].

07. Descubra Ud. mismo todo lo que siempre quiso saber sobre las mareas:

(a) Escriba una expresión para la fuerza gravitacional ejercida por la Luna, de masa M, sobre una partícula de agua, de masa m, que se encuentra en la superficie de la Tierra, justo "debajo" de la Luna. Suponga que la Tierra tiene radio R, y que r es la distancia entre los centros de la Luna y de la Tierra.

(b) Suponga ahora que la partícula de agua está en el centro de la Tierra. ¿Qué fuerza ejercería la Luna sobre ella?

(c) Muestre que la diferencia entre esas dos fuerzas está dada por

Esta expresión representa la fuerza mareal. ¿Cuál es la dirección de esta fuerza mareal?

(d) Repita lo mismo para una partícula en el lado de la Tierra alejada de la Luna. ¿Cuál es la dirección de esa fuerza mareal?

(e) Explique por qué hay dos "levantamientos" mareales en los océanos (y en la tierra sólida), uno apuntando hacia la Luna y el otro en el lado de la Tierra alejado de la Luna.

08. Calcule la fuerza mareal que produce la Luna sobre un litro de agua del océano. Compare esa fuerza con el peso del litro de agua, calculando la razón entre ambas fuerzas. (La comparación debiera mostrar que la fuerza mareal no es capaz de "levantar" el agua, sino que sólo puede inducir movimientos horizontales en el océano).

09.A veces se especula que las fuerzas mareales pueden tener un efecto directo sobre animales marinos. Para estudiar este asunto estime la fuerza mareal que puede sentir una almeja. Calcule la razón entre esa fuerza y el peso de la almeja. Compare esta razón con la razón obtenida para el litro de agua del ejercicio anterior. ¿Concluiría usted que la fuerza mareal puede tener un efecto directo sobre la almeja? (Esto no descarta efectos indirectos de la fuerza mareal, como a través de corrientes mareales, o la generación de frentes de marea, etc.).