Principio de Arquímedes Ecuación de Bernouilli Ejercicios sugeridos

El concepto de viscosidad

El concepto "viscosidad" fue introducido en este curso ya en el primer capítulo, para su uso en la determinación del número de Reynolds. Sin embargo, nunca se ha dado más detalles acerca de esta propiedad, ni se ha explicado en que forma se determina.

Una forma de medir la viscosidad de un fluido es hacer deslizar una tabla por su superficie, y ver en qué forma se ven afectadas las capas de fluido que están debajo de la tabla. Si la viscosidad del fluido es alta, por ejemplo, entonces la tabla que se desliza en la superficie "arrastra" agua de las capas inferiores hasta profundidades considerables. Si, por el contrario, la viscosidad del fluido es pequeña, las capas de fluido debajo de la tabla no se verán particularmente afectadas por el movimiento de ésta. Como se observa, el parámetro que interesa es la tasa de cambio vertical de la velocidad horizontal (¿muy enredado?). De hecho, el parámetro "viscosidad dinámica" (ya usado en el primer capítulo de este curso) se define como

En este caso F representa la fuerza paralela que mueve la tabla, y A es el área de la tabla. v/y es la tasa de cambio vertical de la velocidad horizontal del fluido. En capítulos anteriores llamamos "esfuerzo" () a esa especie de "presión" paralela a una superficie.

El método de mover una tabla sobre la superficie de un fluido y ver como son afectadas las capas debajo de ésta tiene la ventaja que es fácil de visualizar (lo que es bueno para una definición), pero en realidad es poco práctico en general, e inútil en el caso de los gases. ¿Cómo deslizar una tabla si la cantidad de fluido que se tiene es pequeña, por ejemplo? Por eso, en la práctica se usa otros métodos. Uno de ellos es una variación del método de la tabla, pero con una superficie curva del líquido, de modo que se ocupe poco espacio, y consecuentemente poca cantidad de fluido. ¿Cómo se obtiene una superficie curva? Simplemente haciendo que el líquido llene el espacio entre dos bandas en forma de circunferencia (en la forma que tienen algunos moldes para queques, con un agujero en el centro). Se hace rotar el borde externo, por ejemplo, y se observa cuánto rota el interno. Si el fluido es no-viscoso, la pared interna n rota. Si la viscosidad es alta, por el contrario, al cabo de un tiempo pequeño la pared interna co-rotará con la externa. La viscosidad del fluido se deduce del tiempo que demora en co-rotar la pared interna (o de su velocidad de rotación final, si es que no co-rota con la externa). La ventaja de este método es que uno puede fabricar aparatos cuan pequeños como uno quiera (tan pequeños como de algunos milímetros de diámetro, por ejemplo). Otro método de determinar la viscosidad es observando cuánto fluido circula por un tubo de longitud y radio conocidos, dada una diferencia de presión conocida entre ambos extremos del tubo. Este último método ocupa la ecuación de Poiseuille, que se vera más adelante, en este capítulo.

En el primer capítulo de este curso se mostró algunos valores de viscosidad para agua pura y para aire. Dado que no es muy sencillo encontrar las viscosidades del agua de mar, a continuación éstas son mostradas en una tabla. Estos valores fueron tomados de la página http://www2.ocean.washington.edu/oc540/lec01-34/ .

Caída de presión debido a viscosidad

La existencia de viscosidad hace que la ecuación de Bernouilli no se cumpla exactamente. Según la ecuación de Bernouilli, si se tiene un conducto de sección constante, y a una altura constante, la presión a lo largo del conducto debería permanecer constante. Cuando hay viscosidad no es así, sino que la presión va disminuyendo a lo largo de la cañería, aun en el caso de un tubo horizontal y de sección constante. La causa es que - si hay viscosidad - de "alguna" parte debe salir la energía para vencer ese roce. Y sale de la diferencia de presión.

El siguiente diagrama muestra la situación en el caso de un líquido en el caso con viscosidad:

Si el líquido fuera no-viscoso, las alturas de las columnas 2 y 3 serían iguales entre sí, en el diagrama que se muestra, y lo mismo ocurriría entre las columnas 4 y 5. (Por supuesto se espera que las columnas 2 y 3 tengan distintas alturas que las 4 y 5, debido a que las presiones son diferentes, aun sin viscosidad, debido a que la velocidad del fluido varía si cambia la sección de la cañería). En el diagrama se observa, sin embargo, que la presión disminuye a lo largo de la cañería, aunque la sección de ésta no cambie. Ese es el efecto de la viscosidad.

La ecuación de Poiseuille, en la siguiente sección, permite cuantificar la caída de presión a lo largo de la cañería. Evidentemente mientras más angosta sea sea el conducto, más efecto debiera tener el roce de las paredes. Ello se observa en la ecuación de Poiseuille a través de la extrema dependencia que tiene la caída de la presión con respecto al radio del tubo por el que circula el fluido.

Ecuación de Poiseuille

Esta ecuación permite relacionar el gasto (caudal) en una cañería con la caída de presión a lo largo de ella, debido a la viscosidad.

Para un conducto de longitud l y radio "R", la caída de potencial está relacionada a la viscosidad a través de la ecuación de Poiseuille

Se observa que la caída de potencial varía inversamente con el radio del conducto a la cuarta potencia. Es decir, el flujo es extremadamente sensible al radio. En el caso de flujo de savia en los árboles, por ejemplo, en que el diámetro de los conductos es del orden de micrones, este efecto debe ser particularmente importante. A pesar de esto, en el capítulo de fluidos sin roce se estimó a altura a la que puede llegar la savia sin considerar el roce.

La viscosidad del fluido hace que se produzca otro efecto en conductos: que la velocidad del fluido tienda a ser muy baja en los bordes, y máxima en el centro del conducto. En el caso de un flujo viscoso no turbulento, la velocidad máxima en el tubo, la velocidad media (=Q/A) y la viscosidad están relacionadas por

Para hacer circular el fluido, se debe ocupar potencia. Esta está dada por

La potencia estará calculada en watts si la caída de presión está en pascales y el caudal en m³/s.

Ejercicios sugeridos

01.