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Principio de Arquímedes
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Fluidos sin roce |
¿Qué es un fluido? En términos extremadamente sencillos, es materia que adapta su forma (más específicamente, sus bordes) al medio exterior... en alguna escala de tiempo. Hay "cosas" que son sólidas en cierta escala de tiempo, y "fluidas" en otras. La parte más superficial del planeta Tierra (la litósfera) se considera habitualmente "solida", por ejemplo, pero en una escala larga de tiempo (centenares de miles de años), puede considerarse como un fluido. La forma del planeta, por ejemplo, con su conocido abultamiento en el ecuador, se puede explicar usando una gota de agua como modelo. En este mismo capítulo se presenta un ejercicio en que se discute la formación y desaparición de continentes (¿qué puede ser más "sólido" que los continentes?), usando un modelo fluido.
Por otra parte, ¿hasta cuándo un fluido puede considerarse fluido? En el párrafo anterior se mencionaba que, si uno espera un tiempo suficientemente largo, prácticamente cualquier sólido puede considerarse un fluido. Pero, ¿qué pasa en el otro extremo, cuando uno considera fluidos más y más tenues? ¿Hasta cuándo la sustancia puede considerarse un "fluido"? Un criterio para eso es el siguiente: Se toma un cierto volumen del fluido, digamos un centímetro cúbico, por ejemplo, y se mide su densidad. Es obvio que si elegimos el mismo centímetro cúbico un momento más tarde, nos dará una densidad parecida a la anterior. Enseguida podemos elegir un volumen más pequeño, digamos un milímetro cúbico. Al determinar la densidad de ese milímetro cúbico un momento más tarde seguramente nos dará un resultado cercano al anterior. Así podemos ir disminuyendo el tamaño del cubo, y las densidades medidas seguirán siendo más o menos semejantes. Sin embargo, es claro que en algún momento llegaremos a un volumen tan pequeño que el número de moléculas que hay dentro del volumen va a ser casi al azar. Alguna vez encontraremos 5 moléculas, por ejemplo. Pero dado que las moléculas están moviéndose, el número que encontremos la siguiente vez en el pequeño volumen podríamos ser 10, por ejemplo. Por lo tanto la densidad dependerá del azar. En nuestro ejemplo, la densidad en el segundo caso será el doble de la densidad del primer caso. A las escalas espaciales en que la densidad que se mida dependa fuertemente del azar, la sustancia ya no puede considerarse fluido. La siguiente figura muestra este proceso para cierta sustancia. En este caso a es el tamaño de cualquier lado del cubo de la muestra. Se observa que cuando a es menor que unos 10-8 m, la densidad medida comienza a fluctuar fuertemente. A ese tamaño la sustancia ya no puede considerarse un fluido.
Hay una serie de propiedades que los fluidos pueden tener (o no). Las más importantes son las siguientes:
| Fluido estacionario | Si la velocidad (como vector) del fluido en cualquier punto dado es constante en el tiempo. No significa que la velocidad sea la misma en todos los puntos del fluido. Si el flujo no cumple esta propiedad, se le llama no-estacionario. |
| Fluido rotacional | Si hay vórtices (remolinos) en el fluido. Esto se puede verificar en forma muy sencilla, poniendo una pequeña hélice en el fluido. Si la hélice rota, ya sea vertical u horizontalmente, el fluido es rotacional. Si no rota de ninguna forma, se dice irrotacional. |
| Fluido compresible | Si la densidad depende sensiblemente de la presión. Un fluido se considera compresible si la velocidad del fluido es comparable o mayor que la velocidad del sonido en el fluido. Normalmente uno puede suponer que los fluidos, incluso el aire, son incompresibles. |
| Fluido viscoso | Un fluido es viscoso si las fuerzas de roce internas son apreciables. Otra forma de decirlo es que disipa una cantidad apreciable de energía debido al roce. Si la viscosidad del fluido no juega un papel importante en su movimiento, se le llama no-viscoso. |
| Método Euleriano de medición | En este caso el observador (o el instrumento) está inmóvil, y al fluido "pasa" a través del sensor. Es el método más usual de medición de fluidos. Ejemplos son las estaciones meteorológicas, las mediciones de caudal y nivel de ríos que se hace en los puentes, etc. |
| Método Lagrangiano de medición | En este caso el sensor se mueve junto con el fluido, midiendo las características de la misma "parcela" de fluido. Por ejemplo, uno puede instalar un termómetro en un flotador, y medir cómo cambia la temperatura del agua a medida que ella se mueve. |
En este capítulo se estudiará fluidos estacionarios, irrotacionales, incompresibles, y no-viscosos. El siguiente capítulo está dedicado al caso viscoso.
 | Principio de Arquímedes |
El principio de Arquímedes es sencillo: Un cuerpo sumergido en un fluido experimentará una fuerza adicional hacia arriba, igual al peso del volumen de fluido desalojado por el cuerpo. En otras palabras, la fuerza adicional que sentirá el cuerpo sumergido es igual al peso del fluido que estaba en el lugar que ahora ocupa el cuerpo sumergido. Esta fuerza adicional es llamada empuje en física. En oceanografía a veces se le llama boyantez. Aquí la denotaremos con la letra B.
Como el empuje es el peso del fluido desalojado, es una fuerza sencilla de
calcular. Supongamos que Vc sea el volumen del cuerpo sumergido
(o de la parte sumergida, si el cuerpo no está sumergido completamente).
En ese caso, el empuje será simplemente el peso de un volumen Vc
de fluido. Ese peso será P = mf g=(
f
Vc )g . Por lo tanto, B = f
Vc g. ¡Así de sencillo!
Como un ejemplo de lo anterior, calculemos la fuerza de empuje que sentimos
debido a que estamos "sumergidos" en aire. ¿Cuánto más
livianos somos por este hecho? El "volumen del fluido desalojado"
en este caso es el volumen típico de una persona, porque ella ocupa ahora
el espacio que antes ocupaba el aire. Estos nos lleva al problema de evaluar
cuánto puede ser el volumen de una persona. Algunos capítulos
más atrás aprendimos a evaluar el área de una persona,
pero su volumen... Hay al menos dos formas de estimar este volumen. Uno podría
macabramente preguntarse ¿cuántos cadáveres de personas
cabrían en un metro cúbico? ¿Dos? ¿Tres? ¿Cinco?
De ahi uno podría estimar el volumen. La verdad es que usando este método
uno tiende a sobreestimar el volumen de las personas. Más efectivo es
un segundo método, que reconoce el hecho que una persona típica
flota en agua, por lo que su densidad media debe ser más o menos la del
agua. Por lo tanto, dado que =m/V,
se deduce que el volumen es V=m/.
Dado que una persona típica tiene una masa de unos 70 kilos, usando la
densidad de 1000 kg/m3 se llega a un volumen de 0,07 m3.
¿Poco, verdad? ¡Ocupamos poco espacio! Según esto, cabrían
unos 14 cadáveres en un metro cúbico. (¡O sea que
tener cementerios privados debiera ser buen negocio!). Volviendo al empuje por
el aire, usando 1,2 kg/m3 como densidad del fluido, B = f
Vc g lleva a que B = 1,2 (kg/m3)
x 0,07 (m3) x 10 m/s2 = 0,84 (N). Recordando que un kilo
de masa siente una fuerza peso de 10 (N), una fuerza peso de más o menos
1 (N) corresponde a una masa de 0,1 (kg), o sea 100 (g). Resumiendo, por estar
sumergidos en aire somos más livianos como en 84 "gramos".
¡Algo es algo!
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Ecuación de Bernouilli |
Como veremos, la ecuación de Bernouilli es una de las relaciones físicas más útiles para "explicar" cosas de la vida diaria. Si se tiene un fluido (i) estacionario, (ii) incompresible, (iii) irrotacional y (iv) no-viscoso, la aplicación del teorema del trabajo y la energía al fluido lleva inmediatamente a la siguiente relación de conservación en el fluido (la conservación de la energía):
La cantidad anterior se conserva en un fluido con las características mencionadas más arriba. Esta es la famosa ecuación de Bernouilli. Esto quiere decir que si en un punto "a" del fluido uno hace la suma anterior, ésta debe ser igual a la suma en punto "b" del fluido. O sea, se tiene que:
En esas ecuaciones "P" es la presión (medida en Pascales),
es la densidad del fluido
(que no cambia entre "a" y "b", porque el
fluido se supuso incompresible), v es la rapidez del fluido (que puede
ser distinta en "a" y "b", porque el fluido
es estacionario, pero no se supone necesariamente inmóvil), g
es la aceleración de gravedad, e "y" es la altura del
fluido sobre algún nivel de referencia.
La ecuación anterior es extremadamente útil, como se comentó más arriba. Como un primer ejemplo de aplicación, veamos cómo varía la presión sanguínea promedio a lo largo de una persona (aquí se verá sólo promedios temporales, sin considerar los ciclos cortos - sístole y diástole, y esas cosas).
El corazón es una bomba que en condiciones normales produce una presión
promedio de 13300 (Pa). Podríamos suponer que el corazón es el
punto "a" de la ecuación de Bernouilli. Supongamos que
deseamos saber la presión en los pies de la persona (punto "b"
de la ecuación de Bernouilli). En ese caso Pa sería
de 13300 (Pa), y Pb sería la incógnita. Si consideramos
el nivel del suelo (o de los pies) como nivel de referencia, entonces ya
sería de más o menos 1,3 (m), en tanto yb sería
cero. Dado que la densidad de la sangre es 1060 kg/m3, los productos
gya
y gyb
serían 13780 (Pa) y cero pascales, respectivamente. ¿De qué
"tamaño" pueden ser los productos del tipo (1/2) v2?
La velocidad de la sangre no puede ser demasiado alta. Seguramente nunca va
a ser 1 m/s o algo así, pero aún si fuera tan alta como 1 m/s,
los productos del tipo (1/2) v2
serían del orden de 530 (Pa), muuuchos más pequeños que
las decenas de miles de pascales que representan los otros términos de
la ecuación. Por lo anterior, la ecuación de Bernouilli se reduce
en el caso de la circulación sanguínea promedio a sólo
los términos que contienen la presión y la altura. Usando los
valores ya mencionados para la presión del corazón y para la altura
del corazón y de los pies se llega directamente a que Pb
es 13300 (Pa) + 13780 (Pa), o sea 27080 (Pa). ¡Bastante más alta
en los pies que en el corazón! El siguiente diagrama muestra las presiones
en el corazón, en los pies, y en la cabeza de una persona promedio. (El
valor que se muestra para los pies fue realmente calculado con g = 9,8
m/s2, por eso es un poco distinto del calculado recién).
A la derecha del diagrama anterior se muestra algo muy interesante: La presión en el corazón, en los pies y en la cabeza de una persona normal en el caso que ella está acostada. La presión en el corazón sigue siendo 13300 (Pa), pero ahora la presión en los pies y en a cabeza es 13100 (Pa) y 13200 (Pa), respectivamente. Un alumno que sea estudiante seguramente se preguntará, ¿porqué aparecen en este caso diferencias de presión, cuando los tres puntos están a la misma altura? Uno podría pensar que en este caso la velocidad de la sangre juega un papel, pero la respuesta va realmente por otro lado: En este caso, en que las diferencias de presión son menores, la viscosidad de la sangre juega un papel relevante. La distancia del corazón a los pies es más o menos el doble de la distancia del corazón a la cabeza, y - como se verá en el capítulo siguiente - la caída de presión por viscosidad es proporcional a la distancia.
Un aspecto interesante de mencionar - en este contexto sanguíneo - es
que ahora se puede entender porqué la presión sanguínea
se toma en el antebrazo: El antebrazo está justo a la altura del corazón.
Si la persona está de pie, o sentada, la presión varía
enormemente a lo largo de su cuerpo, como acabamos de ver. Si se tomara en una
muñeca, por ejemplo, o en un muslo, la presión diferiría
mucho de la que produce el corazón, que es lo que realmente se desea
medir (variaría en la cantidad g
y),
ya que se mediría a una altura diferente de la del corazón. Si
la persona está recostada, por otra parte, la presión sanguínea
se puede medir en cuaquier parte del cuerpo, hasta en un tobillo, como se hace
a veces en la práctica.
Una ecuación tan útil como la de Bernouilli y complementaria a ella es la ecuación de continuidad. En el caso de los fluidos incompresibles que circulan en un tubo de sección transversal A, la que puede ser variable a lo largo del tubo, la ecuación de continuidad se reduce simplemente a
Q = A v .
El gasto (o caudal) Q se mide en m3/s, el área en m2, y la velocidad en m/s.
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Ejercicios sugeridos |
01. Un objeto pesa 100 N en el aire y 75 N en agua. ¿Cuál es la densidad relativa de dicho objeto?
02. Un recipiente lleno de agua pesa 200 N sobre una balanza. Se introduce en él un salmón de 12 N que nada en su interior, ¿qué peso se lee en la balanza?
03. Un cubito de hielo flota en el agua de un vaso totalmente colmado. ¿Qué ocurrirá con el nivel del agua a medida que el cubito se funda? Explicar.
04. Modelo simple de creación/desaparición de continentes: Suponga que se "pone" un trozo de material continental de 35 km de espesor y densidad 2700 kg/m3 sobre el manto terrestre seco (sin agua), el que tiene densidad 3300 kg/m3. (a) ¿Cuál sería la altura del continente? Suponga ahora que se crea un océano que cubra la superficie de la Tierra, de 2 km de espesor. Estime el desplazamiento vertical del continente. (c) Ahora suponga que la erosión remueve material del continente a una tasa tal que su altura disminuye 2 km cada 10 millones de años, hasta que el continente esté a nivel del mar. ¿Cuánto tiempo tomaría que el continente quede a nivel del mar?
05. Calcule la rapidez de salida de un líquido desde un agujero en un tambor, el cual está a una profundidad h, medida desde la superficie del líquido. Aplique la ecuación de Bernoulli a la superficie, una profundidad h y al orificio, y muestre que la rapidez de salida del fluido por el agujero es
Este resultado es conocido como la ley de Torricelli.
06. Una manguera de jardín de 1.9 cm de diámetro se conecta a un regador que consiste solamente en un tarro con 24 hoyos, cada uno de los cuales tiene un diámetro de 0,13 cm. Si el agua en la manguera tiene una rapidez de 0,9 m/s, ¿a qué rapidez sale el agua por los hoyos?