Proceso de difusión Difusión molecular Difusión turbulenta tEjemplos de difusión en biología Referencias Ejercicios sugeridos

Proceso de difusión

Originalmente bajo difusión se comprendía al proceso de "auto mezclado" de las moléculas de un fluido a consecuencia de su movimiento térmico. Esa sigue siendo la idea fundamental de la difusión molecular. El concepto de "difusión" se ha ampliado ahora, sin embargo, para incluir procesos de "auto mezcado" no inducidos por movimiento térmico, sino que también por agentes externos al fluido, los que, entregando energía de alguna forma al fluido, lo fuerzan a homogeneizarse. Esta es la idea básica de la difusión turbulenta. Al igual que como se discutió con la viscosidad en el capítulo de Modelos de Movimiento, se encontrará aquí que la difusión molecular dependerá fuertemente de las características físicas del fluido, como por ejemplo la temperatura de éste, pero que, en cambio, la difusión turbulenta será relativamente independiente del fluido, y dependerá mas bien de la escala de movimiento. Que haya tanta "afinidad" entre las formas laminar y turbulenta de los procesos de difusión y viscosidad no es casualidad, en realidad, dado que la viscosidad puede ser vista simplemente como "difusión de velocidad".

En general también se puede definir la difusión como el flujo de alguna propiedad desde concentraciones altas a concentraciones bajas. Esa propiedad puede ser tan real como partículas (difusión de polen, difusión de animales, difusión de sal en el océano, etc.) o puede ser alguna propiedad del fluido, tal como su temperatura o su rotación angular.

Difusión molecular

La idea básica de la difusión moecular ya fue mencionada arriba: la "causa" del mezclado en este caso es el movimiento térmico de las moléculas. Hay que entender que aquí "moléculas" no necesariamente tiene el significado habitual de conglomerados de átomos, sino que puede representar "pequeños volúmenes" de fluido, si se trata de difusión de temperatura en el agua, por ejemplo.

La difusión en gases ocurre mediante choques entre las moléculas. Si se observa una partícula en especial, se encontrará que, en promedio, después de un cierto tiempo thabrá avanzado una distancia neta que es proporcional a la raíz cuadrada de ese tiempo, en la forma

(1)

donde el subíndice "cm" quiere decir "cuadrático medio", es decir la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las distancias. La ecuación (1) es entonces una relación estadística. Al factor D se le llama constante de difusión (molecular, en este caso). Sus unidades son m²/s, ¡las mismas de la viscosidad cinemática! (no es coincidencia, por lo que se comenta más arriba). Para las direcciones y y z se puede escribir ecuaciones iguales a la (1). Esto se debe a que la difusión molecular es esencialmente isotrópica, es decir, es la misma en distintas direcciones.

La difusión molecular es un proceso extremadamente lenta. Eso se deduce también de los pequeños coeficientes de difusión de la tabla siguiente, tomada del Kane y Sternheim:

Como una aplicación de lo anterior, veamos cómo sería la oxigenación del océano en el caso de difusión molecular. Sabemos que el oxígeno disuelto en el interior del océano proviene de la atmósfera. Por lo mismo su concentración es máxima cerca de la superficie y disminuye hacia abajo en el océano. Calculemos cuánto demora en alcanzar un metro de profundidad una molécula de oxígeno que acaba de "ingresar" al agua, si el proceso de difusión fuera molecular o laminar. Ocupando la relación (1) para despejar el tiempo, y usando el valor de D de la tabla (para oxígeno molecular en agua), se tendría que, para que x_cm sea 1 m, deberían pasar quinientos millones de segundos, o sea ¡aproximadamente 16 años! Si los peces dependieran de la difusión molecular para su respiración, ¡hace tiempo que estarían ahogados! Más aun, dado que el tiempo depende del cuadrado de x_cm, para que una molécula de oxígeno disuelto llegue por difusión molecular a una profundidad de 10 m (diez veces el valor anterior), se debería multiplicar el tiempo por 100 (el cuadrado del factor de la distancia), lo que implica que ¡se requeriría 1600 años para que el oxígeno disuelto llegue a 10 m por difusión molecular! Claramente el proceso de profundización de oxígeno disuelto en el océano no puede depender de la difusión molecular. En realidad el proceso es turbulento, en cuyo caso la difusión es muy efectiva. (Conviene señalar que no todo el oxígeno disuelto en el agua de mar llega ahí por difusión. En algunos lugares del mundo, particularmente en las zonas polares, aguas que están cerca de la superficie, y que por lo tanto son ricas en oxígeno disuelto, se hunden, acarreando consigo su oxígeno. Estas aguas ocupan la parte profunda de los océanos, digamos por debajo de algunos centenares de metros. El resultado de esto es que usualmente en los océanos hay aguas muy oxigenadas en la superficie y aguas relativamente oxigenedas desde algunos centenares de metros para abajo, pero entre esas capas se encuentra aguas pobres en oxígeno disuelto.) Queda un asunto pendiente, planteado por Marcela Alarcón en clases: ¿qué hay del oxígeno disuelto aportado por la fotosíntesis de los vegetales existentes en el mar? Mal que mal, ¡alrededor de un tercio de la vegetación del planeta se encuentra en los océanos! No disponemos de alguna respuesta a esta interesante pregunta, por ahora. Se la traspasaremos a los colegas que trabajan en temas parecidos. (Tal vez a Renato Quiñones, de la UdeC. Ya veremos).

Difusión turbulenta

La difusión turbulenta es muchísmo más efectiva que la molecular o laminar. No sólo esto se expresa en coeficientes D mucho mayores, sino que también aparece una importante propiedad, ya discutida en el caso de la viscosidad. Obsérvese el siguiente gráfico, en que Okubo (1980) reunió una gran cantidad de coeficientes de difusión horizontal asociados a muchos procesos marinos diferentes. En este gráfico hay difusión horizontal de larvas, de contaminantes, de especies animales, de temperatura, de derivadores, de remolinos (eddies), etc. Ellos (eje vertical) están mostrados en función de la escala horizontal del proceso (eje horizontal). Se observa que en este gráfico log-log hay una relación directa entre la escala del proceso y el respectivo coeficiente de difusión turbulento. ¡Es un resultado espectacular! Nótese que lo que aquí difunde son "cosas" muy distintas: propiedades del agua (temperatura, remolinos), objetos inanimados (contaminantes, derivadores), otros vivos pero con poca movilidad horizontal (larvas) y otros de gran movilidad (animales). la relación sgue siendo válida. Esta relación entra la propiedad y la escala del proceso es típica de procesos turbulentos.

Hay ejemplos más locales de estos resultados. En su tesis de Magister en Oceanografía, realizada en Concepción (Ernst, 1996), Billy Ernst estimó coeficientes de difusión de Langostino Colorado tanto en laboratorio (medidas directas en los laboratorios de Dichato) como in situ mediante modelación numérica. Sus resultados confirmaron esta dependencia de la escala del proceso.

Un aspecto interesante de la figura de Okubo es que en este gráfico log-log, el coeficiente de difusión depende de la escala del proceso elevada a 4/3,como muestra la figura. Esa "ley de los cuatro tercios" es una conocida propiedad de la turbulencia.

Lo anterior es sólo válido para la difusión turbulenta horizontal, y no necesariamente para la difusión turbulenta vertical, la cual depende no necesariamente de la escala, sino de otros factores. Por ejemplo, la distribución vertical de la densidad del fluido puede ser determinante en la difusión turbulenta vertical. Todo esto muestra que, a diferencia de la difusión molecular, la difusión turbulenta es esencialmente anisotrópica, es decir, no es la misma en distintas direcciones.

Es difícil exagerar la importancia que tiene este gráfico de Okubo. En el curso se verá varios ejemplos de su uso. A fin de facilitar las aplicaciones, la Prof. Müller hizo un ajuste de las rectas que aparecen en el diagrama de Okubo (entre nos, las llamaremos las ecuaciones de Okubo-Müller, para identificarlas), que son las siguientes:

Par ausar estas ecuaciones la escala horizontal L debe ingresarse en metros. De este modo el coeficiente de difusión turbulento horizontal A se obtiene en m²/s.

Ejemplos de difusión en biología

El siguiente diagrama, tomado de Okubo (1980), muestra la difusión de polen de ambrosía (Ambrosia spp.) para los casos de difusión de una fuente circular y de una fuente puntual. En los diagramas de la izquierda se muestra ambos casos en un corte horizontal, hechos a la misma una altura a la que liberó el polen, 1,5 m. En los diagramas de la derecha se muestra de nuevo ambos casos en un corte vertical hecho a lo largo del máximo de la concentración. Las líneas representan isocontornos de la concentración de polen, en granos por metro cúbico. En cada diagrama se marxó con una "x" el lugar en que la concentración era 100 unidades (de esta forma, las líneas de isocontorno resultan en procentaje con respecto a la fuente). La velocidad del viento a 1,5 m era de 2,9 m/s.

Se estimó que a un kilómetro de distancia de la fuente aun permanecía en el aire alrededor de 1% de las partículas de polen. Sabiendo que en la época peak de la polinización una sola planta de ambrosía emite por sobre un millón de granos de polen por día, se comprende que la concentración de polen en el aire puede ser bastante grande al cabo de varios días.

Los procesos difusivos turbulentos son muy importantes en los estudios de la ventilación de cuevas de animales, debido a que la renovación del aire permite a los roedores sobrevivir bajo tierra. La siguiente figura muestra la típica madriguera del roedor "perro de la pradera" (prairie dog), en que se muestra cómo los animales han encontrado un modo efectivo de estimular la mezcla turbulenta del aire dentro de la madriguera, usando la energía del viento para producir la mezcla turbulenta.

El caso de la tortugas verdes de la Isla Ascensión es uno de los más interesantes ejemplos de difusión. Las tortugas nacen en Isla Ascensión, a unos 2000 kilómetros al este de Brasil. Luego nadan los dos mil kilómetros a Brasil para alimentarse. Las hembras vuelven a la isla para poner los huevos. Véase la figura siguiente.

La pregunta es qué mecanismo es el que les permite encontrar una isla de 10 km de "ancho" que está a 2000 km de distancia. Si bien se maneja varias hipótesis, la más aceptada es la siguiente: S sabe que el gran giro antihorario del Atlántico Sur produce corrientes marinas de este a oeste entre la isla y Brasil. Por lo tanto, cualquier sustancia química que se desprenda de la isla (por ejemplo, aceite de los arboles) va a ser transportada hacia el oeste, es decir, hacia Brasil. Mientras la sustancia es transportada por el océano, va a sufrir difusión transversal, por lo que su concentración será máxima justo "aguas abajo" de Isla Ascensión (a sotavento de la isla), e irá disminuyendo a medida que uno se aleja de ese eje. La hipótesis es que las tortugas detectan los gradientes de concentración de esa sustancia, y siguen el camino en que esa concentración es máxima, hasta llegar a la isla. En el siguiente esquema se muestra un ajuste teórico al proceso de difusión de las tortugas verdes. Los isocontornos muestran la concentración entre la isla y el continente sudamericano. En el ejercicio 04 al final del capítulo se discute más cuantitativamente ese asunto.

Referencias

Ernst, B. 1996. "Dispersión de Pleuroncodes Monodon (H. Milne Edwards 1837) en ambientes homogéneos y estimación de sus parámetros poblacionales frente a Punta Achira, Chile Central". Tesis de Magister en Oceanografía, Universidad de Concepción, Concepción, Chile.

Okubo, A. 1980. Diffusion and ecological problems: Mathematical models. Springer-Verlag, Berlin.

Ejercicios sugeridos

01. Si un soluto se difunde a través de agua quieta una distancia media de 1 cm en seis horas, ¿cuál es su constante de difusión laminar?

[Respuesta: 2,3x10^-9 m²/s. Mas o menos el doble de la difusividad del O2 en agua.]

02. A partir del diagrama de Okubo, estime la constante de difusión turbulenta horizontal para: (a) difusión de crustáceos en una pileta; (b) difusión de crustáceos en la plataforma continental del océano frente a Chile; (c) difusión de larvas en Bahía Concepción. (d) Estime el tiempo necesario para difundir una distancia horizontal media de 15 m en una pileta.

[Respuesta: (a) unos 2x10^-3 m²/s. (c) unos 150 m²/s.]

03. A partir del diagrama de Okubo muestre que el coeficiente turbulento de difusión depende de la escala del proceso elevada a 4/3.

[Sugerencia: Pruebe con una ecuación del tipo D=A L^B, donde A y B son constantes a determinar. Tome dos pares (D,L) cualesquiera y obtenga A y B. Del gráfico se observa que pares "cómodos" de leer son (L=10³, D=10¹), y (L=10⁹, D=10⁹), donde L y D están expresadas en las mismas unidades del gráfico, es decir cm y cm²/s, respectivamente.]

04. En el caso de las tortugas verdes de Isla Ascensión, la concentración de la posible sustancia química a lo largo de la distancia desde la isla hacia el oeste (x) y de la distancia perpendicular a esa línea (y), en el caso de D constante, está dada por

donde Q es la emisión de la fuente (1 mol/s), u es la velocidad de la corriente hacia el oeste (24 mn/día), h es el espesor de la capa superficial (50 m), y D es 5x10³ m²/s. (a) ¿A qué escala espacial corresponde la constante de difusión utilizada en este ejercicio? (b) Estime qué distancia deben recorrer las tortugas verdes transversalmente a la línea Isla Ascensión-continente para encontrar un factor 10 menor de concentración que a lo largo de esa línea: (b) a 1000 mn al oeste de Ascensión, y (c) a 500 mn al oeste de la isla. (d) Haga un gráfico que muestre la concentración de la sustancia a lo largo de una línea transversal a la línea este-oeste, a 1000 mn al oeste de la isla. NOTA: La solución matemática mostrada es la ecuación usualmente usada para describir la difusión en el caso de D constante.

[Respuesta: (b) 220 mn; (c) 155 mn. Comentarios: Nótese que, si la sensibilidad de las tortugas verdes fuera efectivamente de un décimo de la concentración de la sustancia, a 1000 mn al oeste de Isla Ascensión ellas tendrían que viajar más de 220 millas al norte o al sur antes de darse cuenta que iban por el camino equivocado... y volver a recorrer las 220 millas de vuelta. No creo que la madre naturaleza haga patiperrear tanto a las tortugas, innecesariamente. Esto implica que su mecanismo sensorial debe detectar diferencias mucho más sutiles que un 10% (es sólo una opinión personal). Dado que, según la ecuación mostrada en este ejercicio, la concentración a 1000 mn al oeste de la isla es de unos 8,2x10^-8 mol/m³, esto implica que para que esta hipótesis sea correcta las tortugas deberían detectar diferencias del orden de un 1% de esto (para que no equivoquen demasiado el camino), o sea, ¡del orden de unos 8x10^-10 mol/m³! ¿Es eso posible? Dejo ese interesante punto a nuestros aplicados alumnos de biología y biología marina.]