 |
|
Masas moleculares Ejercicios propuestos para este capítulo
|
|
|
Masas moleculares Ejercicios propuestos para este capítulo
|
Comportamiento de los gases |
El camino de este curso de física hasta ahora ha sido más o menos así: Partimos con la cinemática, que describe los movimientos de cuerpos puntuales. Seguimos con la dinámica (leyes de Newton), para estudiar las causas de los movimientos. Luego vimos ambas cosas (cinemática y dinámica) aplicadas a movimiento circular y a gravitación. La introducción de los conceptos de trabajo y energía permitió "re-mirar" todo lo anterior desde un enfoque distinto, con ecuaciones "ya integradas" en el tiempo, las que permiten obtener resultados dinámicos sin pasar por la segunda ley de Newton ni por la dependencia temporal de los procesos.
Lo anterior constituyó el "aparataje" básico de la mecánica. Por supuesto, visto en forma sencilla. Si bien los aspectos ya vistos son suficientes a la hora de entender muchos procesos sencillos, sobre todo los "macroscópicos", será necesario combinarlos con métodos estadísticos para comprender procesos más complicados, sobre todo aquellos que implican gran cantidad de partículas (difusión, calor, viscosidad, gases, turbulencia, etc.). Esos procesos tienen una gran riqueza de aplicaciones biológicas.
Este capítulo es un "puente" entre las dos principales partes de este curso: la mecánica y el calor (de hecho el curso se llama "Mecánica y Calor". Lo mostrado en los capítulos pasados es la parte de "mecánica". Desde el capítulo siguiente (el subsiguiente, realmente) veremos "calor". Aquí se liga ambos temas mediante una de las ecuaciones más importantes de la física. Todo el capítulo está hecho para poder "deducirla". Eso incluye conocer primero otra importante relación: la ecuación de estado de los gases ideales, por lo que se debe conocer sus constituyentes: densidad (aquí visto desde el punto de vista de las masas moleculares y el número de Avogadro), presión y temperatura.
 | Masas moleculares |
Las masas de los atómos y moléculas se definen en comparación con la masa de un átomo de 12C, la que se define como exactamente 12 "unidades de masa atómica", o "uma". Con esta definición se tiene que una uma corresponde mas o menos a la masa de un protón o de un neutrón. Experimentalmente se ha determinado que 1 uma = 1,660x10-27 kg. En el caso de átomos que tengan distintos isótopos (o sea, igual número de protones pero distinto número de neutrones), la masa atómica se calcula como un promedio ponderado, tomando en cuenta tanto la masa atómica de cada isótopo como la proporción en que éste se encuentra. La masa media del carbono natural, por ejemplo, dado que éste contiene también átomos de 13C, es 12,011 uma. Las masas atómicas de los elementos son indicadas usualmente en la Tabla Periódica.
La existencia de isótopos es sólo una de las razones por las que en general las masas atómicas no son números enteros, a pesar de que por supuesto los átomos contienen un número entero de protones y neutrones. Otra razón tiene motivos históricos que afectan a la definición de una uma (los químicos usaron un elemento patrón, los físicos otro). Otra, más de fondo, tiene que ver con que la energía que mantiene juntos a neutrones y protones en el núcleo (a pesar de la repulsión eléctrica de los protones), "sale" en cierta forma de la masa del núcleo atómico, según la conocida relación de Eisntein entre la energía y la materia. Ello permite explicar, por ejemplo, cómo es que la masa atómica del oxígeno sea sólo, 15,999, es decir, menor a las 16 umas que corresponden a 8 neutrones y 8 protones.
En cuanto a la masa molecular de las moléculas, ella se calcula
sumando las masas atómicas de los átomos que las constituyen.
Un mol-gramo, o simplemente "un mol", de una sustancia es una cantidad tal de la misma que su masa en gramos es numéricamente igual a la masa molecular de la sustancia expresada en umas. Veamos unos ejemplos:
a) Dado que una molécula de CO2 tiene una masa de 44,009 umas, entonces 44,009 gramos de CO2 es un mol de moléculas de ese gas.
b) Tomemos el aire para otro ejemplo. Por simplicidad supongamos que el aire es sólo nitrógeno. Como es nitrógeno molecular, la masa molecular es 2 veces la masa atómico del nitrógeno, o sea 28,014 umas. ¿Cuántos moles de ese "aire" habría en una sala? Primero hay que ver cuántos gramos de aire hay en la sala, porque cada 28,014 gramos habrá un mol de moléculas. Si la sala tiene dimensiones de 3 m x 5 m x 6 m, su volumen será 180 m3. Dado que la densidad del aire es mas o menos 1,2 kg/m3, entonces en 180 m3 hay 216 kg, o sea 216 mil gramos. Dado que cada 28,014 gramos hay un mol, resulta que en esa sala habría unos 7710 moles de "aire" (en realidad de moléculas de nitrógeno).
c) Ahora veamos un vaso de agua para otro ejemplo. La masa molecular del agua
es dos veces la del hidrógeno, que es 1,008 uma, más una vez la
del oxígeno, que es 15,999 uma. Eso resulta 18,015 uma. Dado que unos
cinco vasos de agua son un litro, y que cada litro de agua tiene una masa de
un kilo, resulta que un vaso con agua contiene unos 200 gramos de agua. Entonces
el vaso contiene 200/18,015 = 11,1 moles de agua.
Al usar esta definición de mol, resulta que un mol de una sustancia contiene el mismo número de moléculas que un mol de cualquier otra sustancia. ¡Por suerte! Ese número de moléculas por mol recibe el nombre de número de Avogadro, NA, y corresponde a NA = 6,02x1023 moléculas/mol.
Es difícil hacerse una idea de lo garnde que es el número de Avogadro. Muchas personas han sugerido modos de mostrar lo grande que es el número. Cierta vez, por ejemplo, leí acerca de la probabilidad que uno respire una molécula de aire que haya sido respirada por Jesucristo, por ejemplo (¡sale un resultado sorprendente!). Pero una forma muy sencilla de ver lo grande del número de Avogadro es la siguiente: Calcular hasta qué altura alcanzaría una "ruma" de NA hojas de papel para impresora. Es fácil de calcular: Un milímetro de hojas de papel blanco son unas 20 hojas, aproximadamente, así que el espesor de una hoja es más o menos 0,05 mm. Con este dato usted puede mostrar fácilmente que NA hojas de papel blanco formarían una ruma que llegaría más allá de la atmósfera, incluso más allá de Venus, y ¡más allá de Mercurio! De hecho, la altura de la ruma sería unas 200 millones de veces la distancia Tierra-Sol, o, equivalentemente, ¡como 3200 años-luz!. En resumen, NA ¡ES un número grande!
| Presiones |
Ya en el capítulo de fuerzas se marcó la difrencia entre "presiones laterales", llamadas esfuerzos, y "presiones perpendiculares o normales", llamadas en general simplemente presiones. La presión "normal" sobre un cuerpo se define simplemente como el módulo de las fuerzas normales sobre su superficie dividido por el área de esa superficie:
En el caso de fluidos, la presión interna ejerce una fuerza por unidad de área igual a P en módulo, la que es normal (o perpendicular) en cada punto a las paredes del recipiente que lo contiene.
La unidad de presión en el sistema internacional de unidades (también llamado MKS) es 1 N/m2, unidad de medida denominada 1 Pascal (Pa). Un pascal es, en general, una presión pequeña, por eso se usan muchas otras variables alternativas, en distintas ciencias. Como un ejemplo de la "pequeñez" de un pascal, se tiene que la presón de "una atmósfera", que es la que ejerce la atmósfera a nivel del mar, es mas o menos cien mil pascales.
La equivalencia entre distintas unidades de medida de la presión se puede obtener a partir del hecho que
1 atmósfera = 1 atm = 1,013x105 Pa = 14,7 lb/pulg2 = 1,013 bar = 10,13 dbar = 1013 mbar = 1013 HPa = 760 tor = 760 mm Hg.
Aunque la unidad de medida “científica” es el Pascal, en ingeniería (y en los talleres mecánicos) se usa usualmente lb/pulg2, en meteorología se usa mas bien bares y milibares, en oceanografía se ocupa casi exclusivamente decibares, y en medicina y fisiología las presiones se expresan usualmente en torrs o mm Hg. ¡Casi cada ciencia tiene su propia unidad de medida de presión! Eso muestra también la gran variedad de valores de presión que se encuentra en distintas disciplinas.
Muchas veces interesa realmente sólo la diferencia entre la presión
"verdadera" y la presión atmosférica. Por eso se define
el concepcto de presión manométrica de un fluido, definido
como pman = p - patm.
| Ley de los gases ideales |
Experimentalmente se encuentra que en un gas el producto PV está relacionado a la temperatura Celcius en la forma PV = aTC + b, donde a y b son constantes que se obtienen del experimento. De esta relación, es inmediato que se puede definir una escala de temperatura tal que se tenga una expresión del tipo PV = cT, en que aparezca una sola constante. En esa escala de temperatura se tendría que el volumen del gas sería cero cuando la temperatura (en esa escala) sea cero. La escala de temperatura con esa propiedad especial es llamada escala Kelvin de temperaturas. Entre muchas posibilidades de escribir la constante c, parece particularmente apropiado relacionarla a la "cantidad de materia" del gas, y por lo tanto escribirla en la forma nR
donde n es la cantidad de gas presente expresada en moles y R, la constante universal de los gases, vale R = 8,314 J/mol/K = 0,08207 lt-atm/mol/K. Esta relación se conoce como ley de los gases ideales. Un nombre mucho más adecuado es ecuación de estado de los gases ideales. Una ecuación de estado relaciona en general volúmenes (o densidad) y temperaturas (usualmente aparece también la presión). Cada tipo de fluido tiene su propia ecuación de estado, la que lo caracteriza completamente (¡la ecuación de estado es como la huella dactilar de cada tipo de fluido!).
Un problema de muchas "definiciones" de temperatura es que ellas dependen de propiedades de materiales. Por ejemplo, a veces se relaciona la temperatura de un fluido con su color (caso llamado "pirómetro óptico"), con la longitud o el volumen (caso de termómetros de mercurio, por ejemplo), con la resistencia eléctrica ("termocuplas"), etc. La ecuación anterior permite tener una escala de temperatura que no depende de las propiedades específicas de un material determinado. ¡El problema es que para ello se necesita un gas ideal! Una solución adecuada es usar un gas real, de baja densidad. Los termómetros de gas se mantienen en los laboratorios como patrones y se utilizan para calibrar termómetros más manuables, tales como los termómetros de mercurio.
Como condiciones normales para un gas se define la presión de 1 atm y la temperatura de 0°C. El volumen de un mol de gas en condiciones normales es V=nRT/P. Reemplazando para un mol, se obtiene V=22,4 lt. Así, en condiciones normales, un mol de gas ideal ocupa 22,4 lt.
Un ejemplo de esto: Más arriba calculamos que en una sala de 180 m3 habría unos 7710 moles de "aire" (era sólo nitrógeno molecular, en realidad). El aire en una sala está obviamente a presión atmosférica, y, si no está muy caliente o muy frío, uno podría suponer que está "cerca" de 0ºC. Si fuera el caso, cada 22,4 litros de aire habría un mol. Por lo tanto, en 180 m3, que son 180 mil litros, habría 180000/22,4= 8035 moles, un resultado aproximado que es bastante cercano al resultado "correcto" obtenido antes (que era 7710 moles).
Como se comenta más arriba, la ecuación de estado caracteriza a un fluido. La ecuación de estado de los gases ideales es un modelo simple, que en muchos casos puede usarse como ecuación de estado para gases reales, ¡pero no siempre!. Menos aun para líquidos. Distintos líquidos tienen de hecho ecuaciones de estado muy diferentes. Por ejemplo: El agua de mar es "casi" agua pura. De hecho, la diferencia principal entre agua pura y agua de mar es el alrededor de 3% de sales que contiene el agua de mar. Parece una diferencia muy pequeña, pero esa aparentemente pequeña diferencia hace que las ecuaciones de estado del agua pura y del agua de mar sean completamente distintas. Si alguien está interesado en ver las diferencias, que las vea en http://www.udec.cl/~dfiguero/cursooceano/cap02/cap02.html#cn07 (Nota: Ese archivo tiene algunos problemas con algunos símbolos matemáticos en el texto, lo que estamos corrigiendo, pero lo básico se puede entender).
| Temperatura y energías moleculares |
Supongamos que se tenga un gran número de moléculas de un gas
encerradas en cierto recipiente. Cada vez que una molécula choca
contra una de las paredes del recipiente, digamos la que está a la derecha,
la componente x de su velocidad se invierte. Su cambio de velocidad
sería 
v=2vx.
La fuerza ejercida por la molécula sobre el lado derecho del recipiente
se puede encontrar utilizando la segunda ley de Newton, F=mv/t.
El intervalo t
entre choques de la molécula con las paredes es el tiempo que tarda la
molécula en recorrer la longitud del recipiente, es decir, 2l=vxt.
Con ésto, la fuerza que ejerce una molécula es
Para el caso de las nNA moléculas presentes, la fuerza total sobre el costado derecho del recipiente es nNA veces el valor promedio mvx2/l,
La cantidad (v2)med se denomina velocidad cuadrática media, y representa el valor promedio de v2. La cantidad entre paréntesis es la energía cinética promedio de las moléculas, por lo que
Como se mencionó en la introducción a este capítulo, esta ecuación liga los aspectos “mecánicos”, representados por la energía cinética promedio de las partículas, con el calor. La razón kB=R/NA se denomina constante de Boltzmann, y vale kB=1,38x10-23 J/K.
|
Ejercicios propuestos para este capítulo |
01. ¿Cuál es la masa de 2 moles de H2? ¿Cuántas moléculas hay en 0,7 moles de mercurio?
[Respuesta: 0,004 kg; 4,214x1023]
02. ¿Cuántas moléculas hay en 100 gr de alcohol etílico, C2H5OH? ¿Puede estimar cuántas moléculas de alcohol habría en un vaso de pisco de 30°?
[Respuesta: (a) 2,17 moles; aproximadamente 1,4x1024]
03. A lo mejor (mejor dicho, ¡a lo peor!) Ud. no sabe que le gusta dormir acostado porque es más cómodo para su cuerpo. De hecho, al recostarse Ud. hace disminuir la presión que siente la parte del cuerpo que lo sostiene. Evalúe la presión que Ud. ejerce sobre el suelo (a) cuando está de pié, (b) cuando está acostado, (c) y sobre lo que corresponda cuando Ud. está sentado.
[Respuesta: Las respuestas dependen de los valores que se use para el cuerpo. Valores típicos son: (a) 1,4x104 Pa; (b) 1x103 Pa; (c) 7x103 Pa]
04. La rapidez cuadrática media de cierto gas ideal monoatómico a 300 K es 299 m/s. (a) ¿Cuál es la masa atómica de sus átomos? (b) Identifique el gas usando una Tabla Periódica.
[Respuesta: (a) 83,7 uma. (b) Kriptón.]
05. (a) ¿Cuál es la energía cinética media de una molécula de hidrógeno (H2) a 27°C? (b) ¿Cuál es su velocidad cuadrática media? (c) ¿A qué temperatura tendrían las moléculas de hidrógeno una rapidez cuadrática media de 1,1x104 m/s, que es suficiente para escapar de Tierra (velocidad de escape)?
[Respuesta: (a) 6,21x10-21 J; (b) 1934,2 m/s; (c) 9700 K. Nota: Estos resultados son aproximados, dado que en estricto rigor el factor 3/2 de la ecuación 3/2 kBT vale sólo para gases monoatómicos.]
06. ¿Cuánta energía debe añadirse a 1 mol de un gas ideal monoatómico para elevar su temperatura 1 K, si el volumen se mantiene fijo?
[Respuesta: 12,46 J]
07. Sólo por curiosidad: Calcule al área de su cuerpo ocupando la ecuación mostrada más arriba (A=0,202 W0,425 H0,725. El área A resulta en metros cuadrados si W es la masa, en kilos, y H es la estatura, en metros).
[Respuesta: Dependiendo de su masa y estatura, debiera resultar entre 1,5 y 1,8 m2]
08. Sabemos que la atmósfera no es un gas sencillo, sino que es una mezcla de diferentes gases: nitrógeno, oxígeno molecular, oxígeno monoatómico, ozono, helio, hidrógeno, etc. Uno podría definir una "masa molecular" promedio, combinando las masas moleculares de los gases y la proporción en que se encuentran a cada altura. La siguiente ecuación representa aproximadamente como esa masa molecular promedio de la atmósfera depende de la altura:
donde z es la altura, expresada en kilómetros.
(a) Haga un gráfico que muestre cómo varía M entre la superficie de la Tierra y 600 km de altura.
(b) ¿Qué valores de M se encuentran en la superficie terrestre y a 400 km de altura? Según el valor encontrado a 400 km de altura, ¿qué gas sería el dominante?
(c) En el gráfico usted observa que existe una zona en la que la masa molecular promedio no cambia mucho con la altura. Eso se debe a que la turbulencia mezcla el gas, y lo homogeneiza. ¿Hasta qué altura diría usted que uno podría considerar constante la masa molecular promedio del aire?
09. Este ejemplo pretende mostrar que la cantidad de energía "contenida" en un gas es apreciable. Piense en un bolso deportivo típico, sólo lleno con aire. Imagínese por un momento que la energía cinética de traslación de las moléculas que están dentro del bolso fuera ocupada en levantar el bolso. ¿Cuánto se elevaría éste? (Como masa molecular del aire use el valor que se obtiene para la superficie terrestre en el problema anterior).