Cinemática

En cierto modo, prácticamente todas las mediciones científicas se reducen finalmente a determinar posiciones y/o tiempos. Esto sucede aún en el caso de variables aparentemente "lejanas" a la mecánica, como la temperatura, por ejemplo, en cuya determinación usualmente se debe leer la posición de una línea de mercurio en el termómetro. Incluso aún más, como se verá más adelante durante este curso, el concepto de temperatura se asocia a la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados las velocidades individuales de las moléculas, o sea, está intimamente relacionada a los cambios temporales de la posición de las moléculas. Es por esto que la determinación de la posición de los cuerpos en función del tiempo es una rama importante de la física, llamada cinemática. En ella se trata acerca de cómo describir el movimiento de los cuerpos, sin tratar sus causas.

El "objetivo" final de la cinemática es poder determinar la descripción del movimiento de un cuerpo a través de una función que describa la variación de su posición en el tiempo:

En la ecuación anterior x representa la posición, y t el tiempo. Usualmente la posición se mide en metros (abreviado m) y el tiempo en segundos (abreviado s), aunque la posición también podría usarse en centímetros, kilómetros, millas náuticas, etc., y el tiempo en minutos, horas, días, semanas, etc.

La formulación presentada en la ecuación (1.1) es suficiente para describir completamente el movimiento de objetos que necesitan sólo una variable para la posición, como es el caso, por ejemplo, en el caso de determinación de la posición de un tren. En ese caso basta sólo indicar la distancia a lo largo de la línea férrea para tener completamente determinada la posición del objeto (con respecto a algún punto de referencia a lo largo de la línea). Pero en muchos casos se requiere más de una variable para determinar la posición de un objeto. Si se desea indicar la posición de un buque, por ejemplo, se debe conocer la latitud y la longitud de la posición del buque, o la distancia al norte y al este desde algún puerto, o la distancia al puerto y en qué dirección, etc. En ese caso siempre se necesita "doble" información para determinar la posición. En estos casos se necesita dos funciones del tiempo, en la forma

Es claro que en el caso de un avión, por ejemplo, dado que además se necesita indicar la altura, se debe conocer tres funciones del tiempo, x(t)=f(t), y(t)=g(t), y z(t)=h(t).

Según se necesite una, dos o tres funciones del tiempo para determinar completamente la posición de un objeto, se habla de movimiento unidimensional, bidimensional, y tridimensional, respectivamente. Las funciones f(t), g(t) y z(t) pueden ser sencillas o complicadas, dependiendo del tipo de movimiento. En general, hasta movimientos aparentemente muy sencillos pueden necesitar una descripción relativamente complicada.

Antes de comenzar con el estudio de algunas funciones f(t) útiles, conviene aclarar que en esta parte del curso se utilizará el modelo llamado del punto material, en que, independientemente de la forma del objeto cuyo movimiento se desea estudiar, se supondrá que él (el objeto) no tiene tamaño apreciable ni estructura interna, pero que es identificable. Esta aproximación permite representar cuerpos de forma complicada (¡un tren, por ejemplo!) por un punto, simplemente. En general, esta aproximación puede ser usada cuando uno puede suponer que las fuerzas que siente el objeto están aplicadas en un mismo punto, o, en otras palabras, cuando las fuerzas que siente el objeto no tienden a hacerlo rotar.

Para mostrar la "lógica" de la construcción de las funciones f(t) usaremos un ejemplo muy sencillo: el movimiento de un gusano sobre la tierra.

Supongamos, para comenzar, que un pájaro volando observa al gusano que avanza por la superficie de la tierra. Si el pájaro desea comerse al gusano, es obvio que debe determinar su posición. Ahora bien, dado que la rapidez del pájaro en vuelo es mucho mayor que la rapidez del gusano, el pájaro realmente ni siquiera advierte que éste se está moviendo. Para él el gusano está aparentemente inmóvil. Desde este punto de vista, para el pájaro un "modelo de movimiento" adecuado para el gusano es simplemente que éste no se mueve, o sea que su posición es fija, o constante. En este caso, la posición del gusano, desde el punto de vista del pájaro, requiere una función f(t) extremadamente sencilla, tanto, que ni siquiera depende del tiempo. La ecuación sería x(t) = x₀, o sea, una constante. El subíndice "0" se usará en este curso para indicar que la variable en cuestión asume un valor constante (en este caso, la posición se hace constante). Para una comparación matemática con otros modelos que veremos a continuación, se usará aquí el hecho que cualquier número elevado a cero es uno, en particular t⁰=1, o, más generalmente, (t-t_i)⁰ =1, donde el subíndice "i" indicará el valor inicial de una variable. Con esto la función f(t), que para este caso es simplemente una constante, se escribirá como

Este es el modelo más sencillo que se puede tener para "movimiento", el reposo. Involucra sólo las dos variables básicas: tiempo y distancia.

A propósito de distancia, resulta adecuado indicar aquí algunos valores de distancia que serán útiles para el curso. Ellos deben ser memorizados por los alumnos.

Volvamos a la descripción del movimiento del gusano: Si bien desde el punto de vista de un pájaro asumir el modelo de reposo es adecuado, el mismo modelo resulta evidentemente inadecuado para otros fines. Supongamos, por ejemplo, que un alumno de enseñanza media recibe la tarea de estudiar el movimiento del mismo gusano. Obviamente, no puede usar el modelo que le sirvió al pájaro, o sea, que el gusano está en reposo. El alumno tiene que suponer que el gusano se mueve, o sea, que su posición cambia con el tiempo. Si el alumno supone que el gusano cambia de posición, es razonable que simplifique las cosas, e imponga la condición que el movimiento sea tal que la tasa de cambio de la posición con el tiempo permanezca constante. A esa tasa de cambio de la posición, constante en este nuevo modelo de movimiento, se le llama rapidez, y se mide usualmente en m/s. Este tipo de movimiento se llama movimiento uniforme (también podría llamarse "movimiento con rapidez uniforme").

Que la tasa de cambio temporal de la posición sea constante en el tiempo significa que

A partir de la ecuación anterior se llega, despejando x, a que la función f(t) tiene la forma

La función f(t) es una función que depende de (t-t_i⁾¹ (en el modelo "reposo" tenía el exponente cero). Hay varias consideraciones prácticas que hacer con respecto a este resultado, entre ellas que

En la siguiente secuencia de Mafalda, dibujada por el inigualable Quino, se usa el modelo con rapidez uniforme:

Volvamos al ejemplo de la descripción del movimiento del gusano. Es claro que el modelo usado por el alumno de enseñanza media permitiría describir en general el movimiento, pero, al suponer que la tasa de cambio de cambio de la posición (la rapidez) es constante, el modelo es muy limitado. Supongamos, por ejemplo, que un zoólogo esté interesado en estudiar cómo reacciona el gusano a ciertos estímulos externos, como por ejemplo, a presencia de alimento, a cambios de temperatura del suelo, a peligro, etc. Obviamente un modelo con rapidez constante no le permitiría estudiar las reacciones del gusano. Para ello se necesita cuantificar cambios en la rapidez, o sea un modelo más complicado que el modelo con rapidez uniforme. Para considerar ésto, supongamos un nuevo modelo en que se permita que la rapidez varíe. Sin embargo, a fin de mantener sencilla la descripción del movimiento, convendría imponer la condición que la rapidez, si bien variable en el tiempo, se modifique a una tasa temporal constante. Esa tasa de cambio temporal de la veocidad, que se supondrá constante en este modelo,

es llamada aceleración. Ella se mide en general en "m/s por cada segundo" (cambio de rapidez por cada unidad de tiempo), o, lo que es equivalente, en m/s².

Despejando (t - t_i) de la primera ecuación se tiene que (t - t_i) = (v-v_i)/a₀. Reemplazando esto en la última ecuación se llega a

Si bien tal vez en el caso particular de la descripción del movimiento de un gusano no tenga sentido, puede haber otros casos en que se requiera aun mayor precisión que la que entrega el modelo con aceleración uniforme, recién visto. El movimiento de un anuto de carrera durante las primeras decimas de segundo, por ejemplo (cuando "arranca", esa fase es decisiva para el éxito de un auto de carrera, y recibe particular atención de los ingenieros). Si fuera necesaria mayor precisión, y siguiendo la misma "lógica" de los casos anteriores, se podría permitir que la aceleración varíe, pero, convendría suponer que la tasa de cambio de la aceleración es constante, definiendo algo así como

Este proceso de escribir descripciones cada vez más precisas del movimiento utilizando cada vez polinomios de mayor grado, e introduciendo cada vez una nueva "constante" (la que en el paso siguiente pasa a ser variable) puede continuarse indefinidamente, dependiendo de la precisión con que se desee describir el movimiento.

La siguiente tabla muestra un resumen de funciones polinómicas f(t), construidas de acuerdo a esta metodología. En la tabla se muestra incluso un caso más de modelo, el que tiene un polinomio con dependencia del tiempo a la cuarta potencia. Dado que la tasa de cambio temporal del jerk ni siquiera tiene nombre, aquí la denominamos simplemente "algo":

Si bien este proceso puede continuar indefinidamente, es evidente que a la larga no es práctico. Existen muchos casos de movimiento que, siguiendo esta "lógica", requerirían polinomios extremadamente largos en la variable tiempo, ¡en algunos casos incluso con un número infinito de términos! Por ello, en muchos casos se prefiere usar otras funciones no-polinómicas (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc.). Por ejemplo, la descripción de la posición de un punto que está sobre un disco que gira sería complicadísima usando funciones polinómicas, pero usando funciones trigonométricas es tan sencilla como

(en este caso se necesita describir dos "posiciones": una a lo largo de una dirección y otra sobre una segunda dirección, perpendicular a la anterior. Por ésto se necesita dos funciones f(t) y g(t). Las direcciones son identificadas aquí con los símbolos x(t) y y(t) ).

Es importante destacar que aun en el caso de funciones del tiempo que no sean polinomios, los conceptos de rapidez, aceleración, jerk, etc. mostrados en esta sección siguen siendo válidos.

Como comentario general, se puede decir que hay razones de peso para normalmente utilizar sólo hasta polinomios cuadráticos en t para la descripción de los movimientos, sobre todo en el enfoque que se da a la cinemática en cursos elementales de física. Una razón es que, como se verá más adelante al estudiar las ecuaciones de Newton, la causa del movimiento está relacionada con la aceleración de cada cuerpo, y no con su rapidez o con su jerk, por lo que usar polinomios cuadráticos en el tiempo permiten la definición de la aceleración. Una segunda razón es que uno de los movimientos más importantes en nuestra vida diaria, el de la caída de los objetos, es usualmente asociado a un modelo con aceleración uniforme (la mayor parte de las veces falsamente, como veremos en las secciones siguientes).

Con todo, hay casos en que es inevitable usar en aplicaciones "biológicas" modelos de movimiento más complicados que cuadráticos, o sea, usar modelos con aceleración variable y jerk. En los ejercicios de práctica se ve un caso, con datos obtenidos del artículo de Mastrapa et al. "Survival of bacteria exposed to extreme acceleration: Implications for panspermia", Earth and Planetary Science Letters, 189, 1-8, 2001. El tema también se discute en el artículo de divulgación "¿Habrá venido la vida desde Marte?", en la revista Discovery en Español de Septiembre del 2001. (Agradezco a Isabel Lizama, Biología 2001, por pasarme esta revista).

Una descripción adecuada de la caída de los cuerpos tiene gran importancia en biología. Baste pensar en la caída de esporas y polen en el aire, de sedimentos y larvas en el océano, la dispersión de contaminantes en el aire y en el agua, etc.

Desafortunadamente es muy frecuente en física elemental relacionar la caída de los cuerpos a un modelo muy poco utilizable en biología, el de "caída libre". Por caída libre se comprende al movimiento de un objeto motivado única y exclusivamente por la fuerza de atracción gravitacional de la Tierra. Esto implica que para que el modelo de caída libre sea aplicable, ninguna otra fuerza que no sea la de gravedad debe ser relevante. Si bien rara vez esta aproximación es utilizable en estudios "biológicos", será discutida brevemente aquí debido a la importancia que tiene la aceleración asociada a este modelo, como patrón de aceleración con el cual comparar otras aceleraciones. Conviene aclarar qe, por la definición anterior, "caída libre" no significa necesariamente movimiento vertical. La condición básica es que la única fuerza presente sea la gravitacional. Sin ambargo, en una primera etapa de la discusión se considerá cuerpos que están moviéndose verticalmente.

En el caso de "caída libre" el modelo adecuado para describir la distancia recorrida verticalmente en función del tiempo es el modelo con aceleración uniforme . En la práctica, esto es normalmente válido si el cuerpo que cae es "pesado" con respecto al medio en que cae, y si la distancia recorrida verticalmente es "corta" (¡tan "corta" como para que el modelo de aceleración uniforme siga siendo válido, un círculo vicioso!). El hecho de hablar de caída libre no significa que el cuerpo esté necesariamente moviéndose hacia abajo. Un cuerpo en "caída libre" podría estar moviéndose hacia arriba ("cayendo" hacia arriba), por lo menos durante parte de su recorrido. Por ejemplo, si uno arroja un objeto hacia arriba, durante algunos segundos el objeto subirá (hasta una altura que está relacionada con la rapidez inicial), o sea "caerá" hacia arriba, para luego "caer" hacia abajo. En este contexto caída libre sólo quiere decir movimiento "libre" en el campo gravitacional terrestre (la definición de este campo gravitacional se verá más adelante).

La aceleración vertical (constante) asociada a la caída libre, denominada aceleración de gravedad, es denotada usualmente por g₀, y tiene cerca de la superficie de la Tierra un valor cercano a 10 m/s por cada segundo, o sea 10 m/s². En realidad g₀ depende de la latitud y de la altura sobre la superficie de la Tierra. Aquí, sin embargo, se supondrá que el valor señalado antes puede ser usado en cualquier punto de la superficie de la Tierra, y hasta algunos kilómetros de altura. Más adelante se deducirá una relación entre el valor de g₀ y la altura sobre la superficie terrestre, lo que permitirá calcular su valor a una altura cualquiera.

El valor numérico de g₀ (10 m/s²) tiene gran importancia para efectos comparativos. De hecho, g₀ es una aceleración grande: Si un cuerpo cayera con caída libre durante tres segundos, por ejemplo, al cabo de 1, 2 y 3 segundos adquiriría rapideces de 10, 20 y 30 m/s, respectivamente, o sea, de ¡36, 72 y 108 km/h! "Mecánicamente" es posible obtener aceleraciones muy superiores a g₀, tanto vertical como horizontalmente. Los objetos "biológicos", en tanto, dificilmente alcanzan por si solos aceleraciones horizontales cercanas o superiores a g₀, ni siquiera los animales más rápidos. En el caso vertical, sin embargo, como se pide mostrar en uno de los ejercicios propuestos, una simple pulga al saltar, utilizando un sistema de catapulta, puede alcanzar una aceleración del orden de 100 g₀!

Algunos valores típicos de aceleración en casos más o menos cotidianos son los siguientes (entre paréntesis se indica la duración típica de la aceleración): Los ascensores tienen aceleraciones entre 0,1 y 0,2 g₀ (tiempos típicos de 1 a 5 s), una detención típica de automóvil tiene 0,25 g₀(5 a 8 s), una frenada brusca tiene 0,45 g₀(3 a 5 s), puede ser de hasta 0,7 g₀(por unos 3 s). En el instante en que se abre el paracaídas (¡aunque esto no es muy cotidiano!) una persona sufre aceleraciones de 8 a 30 g₀(muy breve, de 0,2 a 0,5 s).

El siguiente párrafo fue redactado por alumnos del curso durante el primer semestre de 1999 (y modificado levemente por el profesor):

La capacidad de una persona para soportar una aceleración depende tanto del módulo (el "tamaño" de la aceleración) como del tiempo de duración de ésta. Debido a la inercia de la sangre y de los órganos dilatables, las aceleraciones pequeńas tienen poca importancia si duran sólo una fracción de segundo. El limite de tolerancia se encuentra cercano a 10g₀ y depende de la resistencia estructural de los cuerpos. La mayoría de nosotros ha experimentado aceleraciones verticales moderadas en los ascensores. La sangre circula por vasos dilatables de manera que cuando el cuerpo es acelerado hacia arriba, la sangre se acumula en la parte inferior de éste. Cuando la aceleración es hacia abajo, aumenta el volumen de sangre en la parte superior del cuerpo, a su vez los órganos internos no se mantienen rígidos en su sitio y su desplazamiento durante la aceleración puede producir sensaciones desagradables. Cuando un avión despega, aterriza o realiza giros muy rápidos, actúan sobre éste aceleraciones de hasta 9g₀. El grado de tolerancia a esta aceleración dependerá entre otros factores del peso, edad y condición física de la persona. A modo de ejemplo, un piloto que en tierra pesa 80 kilos, cuando es sometido a este valor de aceleración siente repentinamente que su peso es alrededor de 720 kilos. Esta misma aceleración hace que la sangre fluya hacia los pies del piloto, esto disminuye el retorno venoso al corazón con lo cual la presión baja y el piloto puede perder la visión temporalmente, para luego perder la conciencia. También existen aceleraciones negativas durante el vuelo en la cual el piloto experimenta la aceleración en posición invertida. En ese caso la aceleración hace que la sangre fluya al cerebro, el piloto sufre de palidez y su visión se torna roja. Estudios han determinado que los humanos pueden soportar hasta 9g₀ de aceleraciones positivas y 3g₀ para aceleraciones negativas. Un piloto que viaja en aviones modernos que incluso alcanzan velocidades cercanas a la del sonido, podría detenerse sin peligro en una distancia aproximada de 200 m, pero si esta velocidad fuese unas 100 veces mayor (valores que pueden ser alcanzados en viajes interplanetarios), la distancia de frenado que necesitaría para no producir efectos nocivos en sus tripulantes debe ser de aproximadamente 16000 Km. La razón de esta diferencia está en que la cantidad total de energía que se disipa durante la desaceleración es proporcional al cuadrado de la velocidad, lo que es suficiente para aumentar la distancia unas 10000 veces. Por esta razón se han creado procedimientos y aparatos especiales para proteger a los pilotos del colapso circulatorio que aparece durante aceleraciones positivas. Primero, si el piloto aprieta sus músculos abdominales en grado extremo y se inclina hacia adelante para comprimir el abdomen, puede evitar la acumulación de sangre en los grandes vasos abdominales, evitando así la perdida de conciencia. Además se han diseńado trajes "anti-G" para prevenir el estancamiento de sangre en la parte más baja del abdomen y las piernas. Este tipo de traje aplica una presión positiva en piernas y abdomen, inflando compartimientos de aire a medida que aumenta la aceleración positiva. Además el cuerpo humano presenta de 1 a 2 cm de tejido blando externo, lo que aumenta la distancia de desaceleración y por lo tanto disminuye la fuerza de impacto, por ejemplo, durante una caída.

Los objetos de importancia "biológica" (semillas, esporas, polen, larvas, hojas, incluso animales) tienen usualmente densidades del mismo orden que la del agua (densidad del agua = 1000 kg/m³) o mucho menores. En este caso, el roce de los cuerpos con el aire o con el agua durante la caída es tan influyente que el modelo de caída libre (asociado al modelo de aceleración uniforme) no es adecuado para describir el movimiento. Dado que el roce de un cuerpo con un fluido depende de la velocidad relativa entre ellos, a medida que el cuerpo aumenta su rapidez durante la caída encuentra mayor resistencia al movimiento. El resultado final es que el cuerpo que cae aumenta su rapidez hasta que la fuerza de roce, que "frena" al cuerpo en su caída, iguala a la fuerza gravitacional de la Tierra, que es la que hace "caer" al cuerpo. Desde el instante en que eso ocurre, el cuerpo adquiere una rapidez de caída constante. Esa rapidez final se llama velocidad de asentamiento ("settling velocity", en inglés). Otros nombres que recibe a veces son velocidad límite" y "velocidad terminal".

En el siguiente párrafo se describe un caso de velocidad terminal, para el caso de un cuerpo biológico "grande": un ser humano.

El siguiente párrafo fue redactado por alumnos del curso durante el primer semestre de 1999 (y fue modificado levemente por el profesor): En el momento en que el paracaidista abandona el avión, su velocidad inicial de caída es 0 m/s, debido a la aceleración de gravedad en el primer segundo de caída su velocidad es de 10 m/s, en dos segundos es de 20 m/s, en tres segundos es de 30 m/s etc. Pero a medida que aumenta la velocidad de caída, la resistencia del aire tiende a limitar el aumento de la velocidad, lo que lleva a que finalmente la desaceleración que impone el aire se iguale a la aceleración de gravedad, de modo que cuando el paracaidista ha caído alrededor de 12 segundos - sin abrir el paracaídas - alcanza la velocidad terminal de caída o velocidad de asentamiento. Al abrir el paracaídas obviamente se reduce la velocidad de asentamiento (que será la velocidad de aterrizaje) a unos 5 m/s, por lo que la fuerza de impacto sobre el suelo es unas 80 veces menor que la correspondiente caída sin paracaídas. Esta fuerza es la misma que experimentaría una persona que salta desde alrededor de 2 m de altura, por lo que es lo suficiente fuerte como para causar considerables dańos en el cuerpo del paracaidista. Por esto es importante que el paracaidista sea cuidadoso en el momento de la caída, evitando impactar la tierra con sus piernas aún extendidas, en cuyo caso pasarían a través de su esqueleto grandes fuerzas debido a la desaceleración producida, teniendo como consecuencia fractura de la pelvis, de alguna de sus vértebras o una pierna. Un paracaidista experimentado tiene el cuidado de alcanzar el suelo con ambas rodillas flexionadas, para así aumentar la distancia de desaceleración, disminuyendo la fuerza del impacto, es decir amortiguando el choque del aterrizaje.

Para ver casos de velocidad de asentamiento más cercanos a la biología se presenta aquí el siguiente gráfico, tomado del libro "Diffusion and ecological problems: Mathematical models", de Akira Okubo. En el gráfico se muestra la velocidad de asentamiento en el aire de esporas y polen de diversas especies, de tamaños entre un micrón (una millonésima de metro) y 100 micrones, aproximadamente. Se observa que hay una relación clara entre el tamaño de la partícula que cae y su velocidad de asentamiento, independientemente del tipo de objeto "biológico" que cae, al menos en el rango de tamaños mostrado en el gráfico. Nótese que si la caída fuera meramente "caída libre", ¡no debería haber ninguna relación entre el tamaño del cuerpo que cae y su rapidez!

Las mediciones mostradas en este gráfico confirman que los objetos "biológicos" (al menos los pequeños) no caen siguiendo un modelo de caída libre, y que un simple modelo lineal (movimiento uniforme) resulta mucho más adecuado.

El siguiente paso es explicar cómo calcular (o al menos estimar) las velocidades de asentamiento, tales como las que aparecen en el gráfico de Okubo. La siguiente sección está dedicada a ello.

Una importante clasificación del movimiento de los fluidos es con respecto a su grado de desorden. Todos hemos notado que en la mayoría de los casos los fluidos se mueven en forma "desordenada", con frecuentes saltos, remolinos, salpicaduras, etc. Es el caso más frecuente en la vida diaria, y ocurre normalmente con los ríos, las olas, cuando se abre una llave de agua corriente, cuando se vacia una botella, etc. Menos frecuente es el caso de movimiento "ordenado" de un fluido. Por ejemplo, se puede lograr un flujo ordenado si se fabrica un canal de sección constante (paredes planas) y se hace circular en él agua a muy baja velocidad. Otra forma es abriendo sólo levemente una llave de agua (sobre todo las llaves de lavaplatos modernos, los que tienen usualmente un orificio con un borde suave). Ambos "tipos" de movimiento tienen muy distinta naturaleza, y sus movimientos requieren una descripción muy diferente. En el caso "ordenado" se habla de flujo laminar (o "flujo molecular"), mientras que el caso "desordenado" se denomina flujo turbulento. Lo relevante aquí es que, para un mismo objeto, la velocidad de asentamiento es muy distinta en uno o en otro caso.

La turbulencia es tema de investigación muy actual en física, y sus aplicaciones a aspectos biológicos recién están comenzando. Ella es determinante, por ejemplo, para la eficacia de la captación de alimento por parte de larvas marinas (al respecto, los alumnos interesados pueden leer la tesis de Doctorado en Oceanografía de Danilo Caniari en la Universidad de Concepción, que versa sobre este tema en particular). Dado que más adelante en el curso habrá un capítulo completo dedicado a turbulencia, por ahora introduciremos - sin demasiadas explicaciones - un parámetro que permite discriminar a priori si un flujo es laminar o turbulento. Ese parámetro es el número de Reynolds, denominado Re (se usa las dos letras, aunque es sólo un parámetro) y definido en la forma

En el numerador de esta definición aparecen la densidad del fluido en que cae el objeto (no la densidad del objeto), la velocidad del objeto con respecto al fluido, y el radio del objeto (se supone que el cuerpo es esférico, o al menos que se puede usar un radio equivalente). En el denominador aparece la viscosidad dinámica del fluido, que cuantifica la "resistencia" que el fluido opone al movimiento del objeto en él. Importante: Para el cálculo del número de Reynolds se usa el valor absoluto de la velocidad, de modo que Re siempre es positivo.

La combinación de las variables recién mencionadas no tiene unidades de medida (es adimensional), por eso se le llama "número". Esto no significa que sea una constante, sólo significa que no tiene unidades de medida. O sea, a pesar que la densidad se mide en kg/m³, la velocidad en m/s, el radio en m, y la viscosidad dinámica en kg/(m s), su efecto combinado en el número de Reynolds resulta adimensional (¡muéstrelo!). El número de Reynolds se denota por las dos primeras letras del nombre ("Re"). Esto es típico de la mecánica de fluidos, como se verá más adelante (por ejemplo, para cuantificar la importancia de la rotación de la Tierra sobre el movimiento de los océanos y la atmósfera se usa un "número de Rossby", el que se representa por "Ro").

En la siguiente tabla se muestra algunos valores de la viscosidad dinámica, tanto para agua como para aire. Los datos están en kg/(m s), o sea en kilos por cada metro y por cada segundo.

Notese que la viscosidad dinámica del agua (del orden de un milésimo, en las unidades mencionadas) son dos órdenes de magnitud mayores que la del aire (del orden de centésimas de milésimo, en las mismas unidades). Por otra parte, es interesante notar que, mientras que en el caso del agua la viscosidad disminuye a medida que la temperatura aumenta (algo aparentemente lógico, piénsese en los cambios de viscosidad de la miel, por ejemplo, a medida que es calentada), en el caso del aire la viscosidad aumenta cuando aumenta la temperatura. Esto es una muestra que gases y líquidos son cosas realmente muy distintas, a pesar que ambos caen en la categoría de "fluidos".

La importancia que tiene el número de Reynolds para un objeto cayendo es la siguiente:

Si el número de Reynolds es mucho menor que uno (Re <<1), entonces el movimiento será laminar, y la velocidad de asentamiento estará dada por

En el numerador aparecen la densidad del cuerpo que cae, la densidad del fluido, la aceleración de gravedad y el cuadrado del radio del objeto que cae. En el denominador aparece la viscosidad dinámica.

Si el número de Reynolds es mucho mayor que uno (Re >>1), entonces el movimiento será turbulento, y la velocidad de asentamiento estará dada por

En esta ecuación L es el largo del objeto en la dirección en que se mueve. Cd, llamado coeficiente de arrastre en física de fluidos ("drag coefficient" en inglés), es un factor geométrico adimensional que tiene que ver con la forma del objeto, y con cómo esa forma opone una resistencia al fluido. El mismo parámetro es llamado "coeficiente aerodinámico" en la industria automotriz, donde es denominado "Cw". Autos buenos tienen Cw pequeño. Vea el ejemplo de un auto moderno, y compare con el Cd de un delfín, que vale 0,055. ¿A quién le resulta mejor la aerodinámica? ¿A la Volkswagen o a la naturaleza?

Nótese que en el caso turbulento no interviene la viscosidad en la determinación de la velocidad de asentamiento. Como veremos más adelante, ésta es una propiedad de la turbulencia: en cierta forma "independiza" al movimiento de las propiedades del fluido, y hace que ciertos aspectos geométricos tales como el tamaño de los objetos y/o el tamaño del movimiento pasen a ser más relevantes que las propiedades del fluido mismo. Esto tiene enormes repercusiones en la biología, como veremos en el capítulo de difusión.

Más arrba se dice que números de Reynolds "mucho menores" que uno estarán asociados a flujo laminar y valores "mucho mayores" que uno a un flujo turbulento. En nuestro curso se usará ese valor "uno" como caso límite, que separa ambos tipos de flujo. La verdad es que el límite, llamado número de Reynolds crítico, depende del tipo de flujo. Por ejemplo, para un flujo que incide perpendicularmente sobre un cilindro el número de Reynols crítico es cercano a 34. En el caso de flujos en cañerías (en las arterias, por ejemplo), se ha encontrado que el flujo será laminar si el número de Reynolds es menor que unos 2000, y será turbulento si Re es mayor de unos 6000. Para objetos en el océano se ha usado el valor 2000 como número de Reynolds crítico (ver más abajo). Como se ve, el tratamiento de la turbulencia puede ser muy complicado.

Otro "detalle". Se dijo más arriba que la viscosidad dinámica representa de alguna forma la resistencia del fluido a que un objeto se mueva en él (o respecto a él). Como se verá en el capítulo siguiente, esa resistencia es distinta si el flujo es laminar o si es turbulento. Por lo tanto, existe tanto el concepto de "viscosidad dinámica laminar" como el de "viscosidad dinámica turbulenta". La viscosidad dinámica turbulenta es mucho mayor que la laminar. Pero, debe poner atención en lo siguiente: Para encontrar el número de Reynolds asociado a un fluido se usa siempre la viscosidad dinámica laminar (no la turbulenta). Aunque luego de realizado el cálculo el flujo resulte turbulento, en el cálculo del número de Reynolds debe usarse la viscosidad laminar.

Un alumno astuto (o una alumna astuta) puede hacerse la siguiente pregunta: Si cae una piedra en agua, por ejemplo, ¿como se puede tener un "flujo" laminar o turbulento, si es la piedra la que cae? En primer lugar hay que tener claro que lo que importa es el movimiento relativo entre el fluido y el objeto. Si la piedra cae en agua, entonces hay agua moviéndose alrededor de la piedra. Y segundo, es el movimiento del agua alrededor de la piedra la que puede ser laminar o turbulento. No es el movimiento de la piedra el laminar o turbulento, sino el del agua moviéndose alrededor de la piedra.

Este tema de la caída "real" de los objetos es muy interesante, y en cierta forma "desmiente" esa idea tan arraigada que los cuerpos caen con aceleración constante, y por lo tanto con velocidad creciente. La verdad es que si se san las condiciones para que la caída sea verdaderamente "libre", o sea que no haya roce, o que pueda dejarse de lado porque es pequeño, entonces sí que el cuerpo caerá con caída libre, aceleración constante, y velocidad creciente. Pero en la vida real eso casi nunca ocurre ni siquiera para los cuerpos "grandes" (como se vio más arriba, hasta una persona cayendo sin paracaídas alcanza luego una velocidad constante), y nunca para los objetos "pequeños". ¡Pruebe!

Nota: Respuestas y/o sugerencias se encuentran al final del listado, pero le sugerimos encarecidamente no mirar los resultados hasta haber trabajado en el ejercicio. Por favor, no piense en "fórmulas", sino en "modelos".

01. Algunos libros afirman irresponsablemente que "en 1875 un tal Matthew Webb se convirtió en el primer hombre en cruzar el Canal de la Mancha sin chaleco salvavidas". Esto es obviamente falso, pues incluso ejércitos enteros ya lo habían hecho. La gracia de Webb es que lo hizo nadando. Tardó 21 horas y 45 minutos en recorrer los 33,8 km de su travesía. żCuál fue velocidad media en km/h? Dado que, más encima, no nadó en línea recta, su recorrido real fue de 60 km, żcuál fue su rapidez media real?

02. Para partículas esféricas de polvo de densidad 3x10³ kg/m³, hallar el radio máximo para que pueda suponerse movimiento laminar en (a) aire a 20şC, (b) agua a 20şC.

03. Evalúe la máxima velocidad para la que podría suponerse flujo laminar en el caso del movimiento de un pequeńo pez en el agua. Concluya, żes laminar el flujo en el caso de peces pequeńos?

04. Calcule la aceleración que Ud. logra proporcionarse en un salto vertical en la fase de "aceleramiento", o sea desde que está en cuclillas y en reposo hasta que Ud. "despega" del suelo. Asuma valores razonables para las cantidades que no conozca. Ud. necesitará conocer la distancia de aceleración y la altura hasta la que Ud. salta.

05. Cuando saltan, las ranas típicamente aceleran durante unos 9 cm, y alcanzan alturas típicas de 30 cm, medidas desde el despegue. Ambas cantidades están medidas verticalmente. Calcule: (a) la velocidad de despegue de la rana, y (b) la aceleración media que ella siente entre que comienza el salto y el momento del despegue. Para esto último, suponga una aceleración constante, a menos que quiera vérselas con el jerk.

06. Como se dice en el texto, delfines tienen un Cd muy bajo, del orden de 0,055. Estime en cuánto se reduciría la velocidad máxima de los delfines si tuviesen el Cd típico de un automóvil, digamos, 0,35. Observe que en este caso no estamos hablando de movimiento vertical de los delfines, sino de su movimiento horizontal. Por lo mismo, no tiene sentido ocupar la velocidad de asentamiento que fue mostrada en el curso. La dependencia de la velocidad máxima con respecto a Cd sigue siendo válida, sin embargo.

07. Evalúe la velocidad límite en el aire de una persona (a) si cae en posición encogida; (b) si abre los brazos y las piernas. Suponga que el coeficiente de arrastre en ambos casos vale 1.

08. Una burbuja de aire de 5x10^-4 m de radio asciende en un líquido de densidad 900 kg/m³ y viscosidad 8,37x10^-3 kg m^-1 s^-1. Hallar la velocidad límite de la burbuja y justificar la respuesta examinando el número de Reynolds. Suponga que la densidad del aire es 1,2 kg/m³.

09. Problemas de roce (falta de "agarre") limitan en la práctica la aceleración horizontal que los seres vivientes pueden alcanzar por su propio esfuerzo muscular. Rara vez es posible obtener aceleraciones horizontales mayores que g₀. (Nótese que esta limitación no existe en movimientos verticales, en cuya dirección un simple saltamontes obtiene valores del orden de 10 g₀). Se afirma que los guepardos son los animales más rápidos del mundo, y que se ha llegado a observar algunos que se aceleran desde el reposo hasta 70 km/h en 2 s. żes coherente esto con las limitaciones en aceleración horizontal mencionadas en este ejercicio?

10. Suponga que un auto que va a 54 km/h (o sea, ni tan rápido) se estrella contra un muro de piedra. (a) Un pasajero que va con su cinturón de seguridad puesto es detenido en 1 m de distancia, que corresponde más o menos a lo que se "arruga" la parte delantera de un auto (la parte del motor). żQué aceleración media experimenta esta persona? (b) Otro pasajero, el porfiadito que no quiso ponerse el cinturón de seguridad, sale disparado a través del parabrisas y es "detenido" en 1 centímetro, al chocar con el muro (eso es más o menos lo que se deforman las partes duras de su cuerpo mientras choca con el muro, en particular la cabeza). żQué aceleración media experimenta esta persona? żY cómo le dicen? (ˇO le decían, más bien!).

11. Todo sobre canálidos: (a) Calánidos, un tipo de copépodos, representan hasta un 70% de la captura en redes para zooplancton. La longitud y la velocidad de crucero de los calánidos son del orden de 10^-3 m y 10^-3 m/s, respectivamente (Enright, J. T., Limnol. Oceanog. 22, 118-125, 1977). Estime el número de Reynolds para calánidos. (b) La presa principal de los calánidos es fitoplancton. Fitoflagelados nadan a sólo unos 10^-4 m/s. Suponga un tamaño de 10^-4 a 10^-5 m para el fitoplancton, y estime el número de Reynolds asociado. (c) El modo de alimentación de los calánidos es generando una leve corriente de agua mediante la vibración de sus pequeños apéndices. La velocidad de este pequeño flujo es del orden de algunas decenas de 10^-3 m/s. Estime el número de Reynolds para este flujo y diga si es laminar o turbulento. (d) Típicos depredadores de calánidos son peces chicos y quetognatos. Estime el número de Reynolds para un pez de 5 cm que nada a 1 cm/s. (e) Calánidos escapan de la predación mediante "saltos" en el interior del agua. Se ha medido una aceleración de 12 m/s² durante a lo más 0,1 s (Strickler, J. R., Limnol.Oceanog. 22, 165-170, 1977). Estime el número de Reynolds para canálidos durante el proceso de escape. ¿El "salto" está asociado a flujo turbulento o a laminar?

Longitud de una cuadra	125 m
Radio de la Tierra	6370 km
1 milla náutica (mn)	1852 m
1 grado de latitud	60 mn	(aproximadamente 111 km)
1 grado de longitud	60 mn x cos()	( es la latitud)

Modelos de movimiento

Cinemática

Caída de cuerpos: caída libre

Caída de cuerpos "biológicos"

Número de Reynolds y modelos de velocidad de asentamiento

Ejercicios sugeridos