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// Last update: January 15, 2015                   //
// by Antonio Laface                               //
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// Constructs a curve C of bi-degree (3,3) in      //
// P^1 x P^1 which admits the order 5 automorphism //
// (x_1,x_2,x_3,x_4) -> (x_1,ex_2,x_3,x_4),        //
// where e = primitive 5th root of unity.          //
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P1 := ProjectiveSpace(Rationals(),1);
Q<[x]> := P1*P1;
C := Curve(Q,x[1]*x[2]^2*x[4]^3-x[1]^2*x[2]*x[3]^3+ x[1]^3*x[3]*x[4]^2+x[2]^3*x[3]^2*x[4]);

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// Constructs the two g_3^1 of C: D1 and D2        //
// together with a rational function g such        //
// that div(g) = 5(D2 - D1).                       //
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D1 := Divisor(C,Ideal(Scheme(C,x[1])));
D2 := Divisor(C,Ideal(Scheme(C,x[3])));
K<u,v> := FunctionField(C);
_,g := IsLinearlyEquivalent(5*D2,5*D1);

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// The Riemann-Roch space H^0(C,5D1).              //
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V,h := RiemannRochSpace(5*D1);
f := Inverse(h);

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// Verifies that the subspaces Sym^5(H^0(C,D1))    //
// and g*Sym^5(H^0(C,D1)) of H^0(C,5D1) intersect  //
// exactly at 0.                                   //
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B1 := Basis(D1);
B2 := Basis(D2);
V1 := sub<V | [f(B1[1]^n) : n in [0..5]]>;
V2 := sub<V | [f(g*B2[2]^n) : n in [0..5]]>;
V1 meet V2;